Физика пространства - времени

б) В опыте Майкельсона — Морли (упражнение 33) луч света претерпевает отражения между парами зеркал, удалённых друг от друга на 2 м, так что луч проходит в целом путь, равный 22 м. Какое расстояние пройдёт в своём падении из состояния покоя в гравитационном поле Земли пробная частица за то время, пока данный фотон проходит через установку Майкельсона — Морли? С какой степенью точности является инерциальной жёстко связанная с Землёй система отсчёта в той области пространства-времени, где проводится опыт Майкельсона — Морли?

32.* Размеры инерциальной системы

Насколько велика может быть данная область пространства (x=y=z=L в метрах), насколько долго её можно исследовать (t в метрах!) и насколько близко она может быть расположена к центру гравитационного притяжения, чтобы ещё нельзя было заметить существенного отличия е этой области от идеальной инерциальной системы отсчёта?

а) Отличие первого рода: относительное ускорение перпендикулярно направлению притяжения.

Рис. 46. Освобождённые на одинаковой высоте (лежащие на одной горизонтали) грузы приближаются друг к другу в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).

1) Частный случай. Два массивных шарика высвобождаются в состоянии покоя; оба находятся на высоте 250 м над поверхностью Земли; расстояние между ними -25 м (рис. 46). Покажите, что расстояние между ними уменьшится примерно на 10^3 м, прежде чем они упадут на Землю. (Воспользуйтесь методом подобных треугольников или каким-нибудь близким методом. Этот пример обсуждался нами на стр. 19). Время падения с высоты 250 м с ускорением 9,8 м/сек^2 равно приблизительно 7 сек, или 21·10 м светового времени. Итак, падающий железнодорожный вагон может рассматриваться как инерциальная система отсчёта при условиях, что:

Условия

,

соответствующие тому

,

что отличие от идеальной инерциальной системы отсчёта ненаблюдаемо

(

наименьшее отличие

,

доступное обнаружению при помощи данных приборов)

>=1·10^3

м

r

(

расстояние от центра Земли

)

x

(

расстояние по горизонтали

)

y

и

z

(

протяжённость области в двух других направлениях

)

t

(

время наблюдения

)

r>=r=6,4·10

м

x=L=25

м

При обсуждении взяты равными нулю; мы их приравняем нулю и здесь, так как в дальнейшем они не рассматриваются [часть (в)]

t=21·10

м

(7

сек

)

2) Более общий случай. Пробная частица B отстоит на расстоянии x от пробной частицы A. Обе они находятся на одинаковом расстоянии r от центра притяжения и рассматриваются в течение времени t. Обозначим через a общую величину ускорения этих частиц под действием притягивающего центра (в м/сек^2), а через a*=a/c^2 — величину того же ускорения, измеренную в метрах расстояния за квадратный метр времени. Показать, что ускорение частицы B относительно A, (a^x)* (в метрах расстояния на квадратный метр времени), даётся формулой

(

a

^x

)*

=-

x

r

a*

.

(52)

(Считать входящие в рассмотрение углы настолько малыми, что их синусы и тангенсы можно приравнять друг другу).

б) Отличие второго рода: относительное ускорение параллельно направлению притяжения.

1) Общий случай. Пробная частица B отстоит на расстоянии z от пробной частицы A, и на одной прямой с ними на расстоянии r находится притягивающий центр. Таким образом, частица B находится дальше от центра, чем A, и на неё действует меньшая сила. Поэтому B отстаёт в своём падении от A, а наблюдатель, расположенный на A, найдёт, что на B действует ускорение в положительном направлении оси z. Показать, что это относительное ускорение (выраженное в метрах расстояния за квадратный метр времени) равно

(

a

^z

)*

=

+2

z

r

a*

.

(53)

(Совет: воспользуйтесь тем фактом, что величина a* убывает обратно пропорционально квадрату расстояния по закону всемирного тяготения Ньютона: a*=const/r^2. Возьмите разность сил на расстояниях r и r+z Воспользуйтесь чрезвычайной малостью z (каких-нибудь несколько метров) до сравнению с r (тысячи километров) и упростите результат).

Рис. 47. Освобождённые на одной вертикали, но на разных высотах грузы удаляются друг от друга в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).

2) Частный случай (см. стр. 17). Пусть одна пробная частица находится на высоте 250 м над поверхностью Земли, а другая — на высоте 275 м. Насколько увеличится разность высот (25 м) этих частиц за те (приблизительно) 7 сек, пока они не упадут на Землю? [Наводящий вопрос: во сколько раз различаются численные значения для a^z в (б1) и для a^x в (а2)?] Дополните (или, если угодно, пересмотрите) на основании этого результата таблицу на стр. 99.