Физика пространства - времени

б) Возьмём другой частный случай, на этот раз когда проекция оси вращения параллельна оси x (xy — плоскость орбиты). Покажите, что теперь наблюдатели в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты будут согласны между собой в том, что точки P и Q пересекают ось y одновременно. Поэтому в данном случае при огибании электроном угла в лабораторной системе отсчёта будет отсутствовать поворот оси вращения электрона.

Рис. 133. Общий случай изменения ориентации оси вращения электрона, когда последний меняет направление своего движения.

в) В процессе движения электрона по орбите проекция его оси вращения на плоскость xy (рис. 127) будет иногда параллельна направлению его движения (случай (а)), а иногда — перпендикулярна этому направлению (случай (б)). В общем случае она будет составлять некоторый угол с направлением движения электрона, меняющийся на d, когда электрон огибает угол. Чему может быть равна величина этого изменения, d? При =0 [случай (а)] d=-_r^2sin ; при =90° [случай (б)] d=0. В общем случае изменение должно лежать между нулём и -_r^2sin . Исходя из рис. 133, проведём следующие рассуждения, чтобы показать, что при малых и _r^2 искомое изменение равно -_r^2sin cos^2. Дополним первоначальную линию PQ её горизонтальной и вертикальной составляющими PR и QR. Из пунктов (а) и (б) мы знаем, что вертикальный отрезок QR не подвергнется повороту, когда электрон обогнёт угол, тогда как горизонтальный отрезок PR повернётся по часовой стрелке на угол _r^2sin . Покажите, что при малых углах это приводит к неизменности x-компоненты PQ и уменьшению y-компоненты на величину (L cos )·(_r^2sin ). Поэтому тангенс нового угла +d равен

tg(+d)

L sin -(L cos )(_r^2sin )

L cos

=

=

tg

-

_r

^2sin

.

(131)

Требуется найти tg dd; согласно табл. 8,

tg d

=

tg[(+d)-]

=

tg(+d)-tg

1+tg(+d)·tg

.

Используя равенство (131), получим

tg d

=

tg -_r^2sin -tg

1+(tg -_r^2sin ) tg

=

=

-_r^2sin

1+tg^2-_r^2sin tg

.

При очень малых можно пренебречь последним слагаемым в знаменателе, где останется тогда сумма

1+tg^2

=

1+

sin^2

cos^2

=

cos^2+sin^2

cos^2

=

1

cos^2

,

так что

tg d

d

=-

_r

^2sin

cos^2

.

(132)

Это и есть тот угол, на который поворачивается (прецессирует) ось вращения электрона, когда последний огибает угол, изменяя направление своего движения на , в общем случае ориентации проекции этой оси вращения на плоскость орбиты под углом к направлению движения электрона.

г) Из уравнения (132) видно, на какой угол d поворачивается вектор спина электрона, когда электрон изменяет направление своего движения на , один раз огибая угол. Чему будет тогда равен полный угол прецессии при обходе электроном всей замкнутой орбиты? (См. рис. 127 и 128). В замкнутой орбите содержится n поворотов, каждый из которых происходит на угол =2/n. При больших n (малых ) sin так что полный угол прецессии спина при одном обороте электрона вокруг ядра составляет

-

_r

^2(n)

cos^2

_ср

-

_r

^2

cos^2

_ср

.

Чему равен множитель cos^2_ср? Предположим, что полный угол прецессии за один оборот является малым (скорость _r мала!). Тогда при обходе электроном его орбиты угол между переменным направлением движения и проекцией оси вращения на плоскость орбиты пробежит все значения от 0 до 2. Покажите, что в этом случае

cos^2

_ср

=

1

2

2

0

cos^2

d

=

1

2

.

Поэтому полный угол прецессии спина электрона за один полный оборот по орбите равен

=-

_r

^2

(угол прецессии за один оборот).

(133)

д) Электрон, двигающийся со скоростью =_r, за один полный оборот по орбите прецессирует на угол =-_r^2=-^2. Покажите, что электрону требуется совершить 2/=2/^2 оборотов вокруг ядра, чтобы прецессия возвратила его в прежнее положение (прецессия на 2 рад). Примем теперь боровскую частоту обращения электрона вокруг ядра за _B Покажите, что частота прецессии Томаса _T (частота прецессии спина электрона) выражается через боровскую частоту как

_T

_B

1

2

^2

 (частота прецессии Томаса).

(134)

Мы знаем из упражнения 101, что скорость движения электрона на орбите в элементарной теории Бора равна

=

Z

n

=

Z

137n

.

Здесь Z — число элементарных зарядов в ядре, а n — номер энергетического уровня электрона, причём низший (основной) уровень соответствует n=1. Отсюда следует, что частота прецессии Томаса для электрона в атоме определяется выражением

_T

_B

1

2

T

137n

^2

 (частота прецессии Томаса).

(135)

(Замечание. В некоторых атомах имеет место дополнительная прецессия спина электрона, обусловленная моментом силы, возникающим при взаимодействии магнитного момента электрона с магнитным полем ядра. Для электрона находящегося на внутренней орбите атома водорода, такая магнитная прецессия имеет обратное направление и вдвое превышает по абсолютной величине прецессию Томаса. Поэтому полный эффект состоит в прецессии с вдвое меньшей частотой по сравнению с тем, что предсказывает один лишь учёт магнитного взаимодействия без анализа эффектов частной теории относительности).

Ж. МЕЖЗВЁЗДНЫЕ ПОЛЁТЫ