Feynmann 5b

Вся информация о физическом мире, при­обретенная со времени зарождения научного прогресса, поистине огромна, и кажется почти невероятным, чтобы кто-то овладел заметной частью ее. Но фактически физик вполне может постичь общие свойства физического мира, не становясь специалистом в какой-то узкой об­ласти. Тому есть три причины. Первая. Суще­ствуют великие принципы, применимые к лю­бым явлениям, такие, как закон сохранения энергии и момента количества движения. Глу­бокое понимание этих принципов позволяет сразу постичь очень многие вещи. Вторая. Оказывается, что многие сложные явления, как, например, сжатие твердых тел, в основном обусловливаются электрическими и квантовомеханическими силами, так что, поняв основ­ные законы электричества и квантовой меха­ники, имеется возможность понять многие явления, возникающие в сложных условиях. Третья. Имеется замечательнейшее совпадение: Уравнения для самых разных физических усло­вий часто имеют в точности одинаковый вид. Использованные символы, конечно, могут быть разными — вместо одной буквы стоит другая, но математическая форма уравнений одна и та же. Это значит, что, изучив одну область, мы сразу получаем множество прямых и точных сведений о решениях уравнений для другой области.

Мы закончили электростатику и скоро пе­рейдем к изучению магнетизма и электродина­мики. Но прежде хотелось бы показать, что, изучив электростатику, мы одновременно узна­ли о многих других явлениях. Мы увидим, что уравнения электростатики фигурируют и в ряде других областей физики. Путем прямого переноса решений (одинаковые матема­тические уравнения должны, конечно, иметь одинаковые ре­шения) можно решать задачи из других областей с той же легкостью (или с таким же трудом), как и в электростатике. Уравнения электростатики, как мы знаем, такие:

(12.1)

(12.2}

(Мы пишем уравнения электростатики в присутствии диэлект­риков, чтобы учесть общий случай.) То же физическое содер­жание может быть выражено в другой математической форме:

(12.3)

(12.4)

И вот суть дела заключается в том, что существует множество физических проблем, для которых математические уравнения имеют точно такой же вид. Сюда входит потенциал (j), градиент которого, умноженный на скалярную функцию (x), имеет ди­вергенцию, равную другой скалярной функции (-r/e₀).

Все, что нам известно из электростатики, можно немедленно перенести на другой объект, и наоборот. (Принцип, конечно, работает в обе стороны: если известны какие-то характеристики другого объекта, то можно использовать эти сведения в соот­ветствующей задаче по электростатике.) Мы рассмотрим ряд примеров из разных областей, когда имеются уравнения такого вида.

§ 2. Поток тепла; точечный источник вблизи бесконечной плоской границы

Ранее мы уже обсуждали (гл. 3, § 4) поток тепла. Вообразите кусок какого-то материала, необязательно однородного (в раз­ных местах может быть разное вещество), в котором темпера­тура меняется от точки к точке. Как следствие этих температур­ных изменений возникает поток тепла, который можно обозна­чить вектором h. Он представляет собой количество тепловой энергии, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку. Дивергенция h есть скорость ухода тепла из данного места в расчете на единицу объема:

С·h = Скорость ухода тепла на единицу объема.

(Мы могли, конечно, записать уравнение в интегральном виде, как мы поступали в электродинамике с законом Гаусса, тогда оно выражало бы тот факт, что поток через поверхность равен скорости изменения тепловой энергии внутри материала. Мы не будем больше переводить уравнения из дифференциальной формы в интегральную и обратно, это делается точно так же, как в электростатике.)

Скорость, с которой тепло поглощается или рождается в разных местах, конечно, зависит от условий задачи. Предпо­ложим, например, что источник тепла находится внутри мате­риала (возможно, радиоактивный источник или сопротивление, через которое пропускают ток). Обозначим через s тепловую энергию, производимую этим источником в единице объема за 1 сек. Кроме того, могут возникнуть потери (или, наоборот, дополнительное рождение) тепловой энергии за счет перехода в другие виды внутренней энергии в данном объеме. Если и — внутренняя энергия в единице объема, то —du/dt будет тоже играть роль «источника» тепловой энергии. Итак, имеем

(12.5)

Мы не собираемся здесь обсуждать полное уравнение, ве­личины в котором изменяются со временем, потому что мы про­водим аналогию с электростатикой, где ничто не зависит от вре­мени. Мы рассмотрим только задачи с постоянным потоком тепла, в которых постоянные источники создают состояние равновесия. В таких случаях

(12.6)