Feynmann 4

Применим эту формулу также в том случае, когда сила не внешняя, а равна беспорядочным силам броуновского движения. Попробуем определить средний квадрат пройденного телом пути. Будем рассматривать расстояния не в трех, а в одном измерении и определим среднее значение х², чтобы подго­товить себя к решению задачи. (Разумеется, среднее зна­чение х² равно среднему y² и среднему r², поэтому средний квадрат расстояния будет втрое больше того, что мы получим.)

Конечно, x-составляющая беспорядочной силы так же беспо­рядочна, как и остальные компоненты. Чему же равна скорость изменения x²? Она равна (d/dt)(x²)=2x(dx/dt), поэтому скорость изменения среднего x²? можно найти, усреднив произведение скорости на координату. Покажем, что это постоянная величина, т. е. средний квадрат радиуса возрастает пропорционально времени, и найдем скорость возрастания. Если умножить уравнение (41.19) на х, то получим mx(d²x/dt²)+ mx(dx/dt)=xF_x. Нас интересует среднее по времени x(dx/dt), поэтому усредним по времени все уравнение целиком и изучим все три слагаемых. Что можно сказать о произведении х на силу? Хоть частица и добралась до точки х, последующие толчки могут быть направлены в любом направлении по отношению к х, ведь слу­чайная сила полностью случайна и ей нет дела, откуда частица начала двигаться. Если кордината х положительна, у средней силы нет никаких оснований направиться в этом же направ­лении. Для нее оно столь же вероятно, как и любое другое. Случайные силы не могут отправить частицу в определенном направлении. Поэтому среднее произведения х на F_х равно нулю. С другой стороны, слагаемому mx(d²x/dt²) можно, не­много повозившись, придать вид

Мы разбили первоначальное слагаемое на два и должны усред­нить их оба. Посмотрим, чему же равно произведение х на скорость. Это произведение не изменяется со временем, потому что, когда частица попадает в заданную точку, она уже не помнит, где она была раньше, и характеризующие такие си­туации величины не должны зависеть от времени. Поэтому среднее значение этой величины равно нулю. У нас осталось лишь mv², а об этой величине нам кое-что известно: среднее значение mv²/2 равно ¹/₂ kT. Следовательно, мы установили,

что

влечет за собой

или

Это значит, что средний квадрат радиус-вектора частицы 2> к моменту t равен

2>=2kTt/m. (41.21)

Таким образом, мы и в самом деле можем выяснить, как далеко уйдут частицы! Сначала нужно изучить реакцию частицы на постоянную силу, выяснить скорость дрейфа частицы под действием известной силы (чтобы определить m), а тогда мы сможем узнать, далеко ли расползутся беспорядочно движу­щиеся частицы. Полученное нами уравнение имеет большую историческую ценность, потому что на нем основан один из первых способов определения постоянной k. Ведь в конце концов можно измерить величину m, и время, определить расстояние, на которое удалится частица, и получить средние значения. Почему так важно определить точное значение k? Потому что по закону PV=RT для моля можно измерить R, которое равно произведению числа атомов в моле на k. Моль когда-то определялся как столько-то граммов кислорода 16 (теперь для этой цели используют углерод), поэтому числа атомов в моле сначала не знали. Это, конечно, интересный и важный вопрос. Каковы размеры атомов? Много ли их? Таким образом, одно из самых ранних определений числа атомов свелось к определению того, далеко ли уйдут мельчайшие соринки, пока мы будем терпеливо разглядывать их в микроскоп в течение строго определенного времени. После этого можно было найти и постоянную Больцмана k, и число Авогадро N₀, потому что R к этому времени было уже измерено.

 

 

Глава 42

ПРИМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

§ 1. Испарение

§ 2. Термоионная эмиссия

§ 3. Тепловая ионизация

§ 4. Химическая кинетика

§ 5. Законы излучения Эйнштейна

§ 1. Испарение

Эта глава посвящена дальнейшим приме­нениям кинетической теории. В предыдущей главе мы подчеркнули один из выводов этой теории, что средняя кинетическая энергия каждой степени свободы молекулы или любого другого объекта равна ¹/₂ kT. Сейчас централь­ным пунктом нашего изложения будет утверж­дение о том, что отнесенная к единице объема вероятность обнаружить частицу в том или ином месте пропорциональна ехр(-п.э./kT). (Это утверждение мы используем в ряде задач.)