Feynmann 1

Из этого рисунка видно, что горизонтальная компонента силы так относится к полной ее величине, как координата х относится к расстоянию r. Это сразу следует из подобия тре­угольников. Кроме того, если х положительна, то F_x отрица­тельна, и наоборот.

Таким образом, F_xъFъ=-x/r, или F_я=-ъFъxlr=-GM mx/r³ и соответственно F_y=-GMmy/r³. Теперь можно воспользо­ваться динамическими законами (9.7) и написать, что х- или y-компонента ускорения, умноженная на массу планеты, равна соответственно х- или y-компоненте силы:

Это именно та система уравнений, которую мы должны решить. Для того чтобы упростить вычисления, предположим, что либо единицы измерения времени или массы выбраны соответствую­щим образом, либо нам просто повезло, словом, получилось так, что GM=1. Для нашего случая предположим, что в на­чальный момент t=0 планета находилась в точке с координа­тами х=0,500 и у=0,000, а скорость ее в этот момент направ­лена параллельно оси у и равна 1,6300. Как же в этом случае делаются расчеты? Снова составляется таблица со столбцами для времени t, координаты х, x-компонент скорости v_x и уско­рения а_х. Затем идут отделенные чертой три колонки: для координаты y, у-компонент скорости и ускорения. Однако, для того чтобы подсчитать ускорения, мы должны воспользо­ваться уравнением (9.17), согласно которому его компоненты равны —х/r³ и —у/r³, а r=Ц(x²+y²). Так что, получив х и у, мы должны где-то в сторонке провести небольшие вы­числения — извлечь квадратный корень из суммы квадра­тов и получить расстояние. Удобно также отдельно вычис­лить и 1/r³.

После этого все готово, чтобы определить компоненты ус­корения. Всю эту работу можно сильно облегчить, если поль­зоваться таблицами квадратов, кубов и обратных величин. На нашу долю останется тогда только умножение х на 1/r³, которое легко выполняется на логарифмической линейке.

Перейдем к дальнейшему. Возьмем интервал времени e=0,100. В начальный момент t=0

x(0)=0,500,. у(0)=0,000,

v_x(0) = 0,000, v_y(0)=+1,630.

Отсюда находим

r(0)=0,500, 1/r³=8,000,

a_x=-4,000, а_у=0,000.

После этого можно вычислять компоненты v_x (0,05) и v_y (0,05):

v_я (0,05)=0,000-4,000·0,050 = -0,200,

v_y(0,05)=1,630+0,000-0,100=1,630.

А теперь начнем наш основной расчет:

и т. д.

В результате мы получим числа, приведенные в табл. 9.2, где приблизительно за 20 шагов прослежена половина пути нашей планеты вокруг Солнца. На фиг. 9.6 отложены коорди­наты планеты х и y, приведенные в табл. 9.2.

Фиг. 9.6. График движения планеты вокруг Солнца.

Точки представ­ляют собой последовательные положения планеты через каж­дую десятую долю выбранной нами единицы времени. Видно, что сначала она двигалась быстро, а затем — все медленней и медленней. Видна также и форма кривой движения планеты. Итак, вы теперь знаете, как реально можно вычислять движе­ние планет!

Давайте посмотрим теперь, как вычислить движение Непту­на, Юпитера, Урана и остальных планет. Можно ли сделать подробные расчеты со множеством планет, учитывая к тому же и движение Солнца? Разумеется, можно. Найдем сначала силу, действующую на каждую данную планету, например на ту, которую мы обозначим номером i и координаты которой х_i, y_i и z_i (i=1 может означать Солнце, i=2 — Меркурий, i=3 — Венеру и т. д.). Наша задача — найти координаты всех планет. По закону тяготения x-компонента силы, действующая на i-ю планету со стороны планеты номер j' с координатами х_j у_j, z_j, будет равна —Gm_im_j(x_i-x_j)/r³_jj . Если же учесть силы со стороны всех планет, то получим следующую систему уравнений:

где r_ij — расстояние между i-й и j-й планетами: