Этюды для программистов

где x_i — место соперника i в одной классификации, у_i — место в другой классификации, N — общее число соперников (в данном случае 2ⁿ). Другая статистика подсчитывает совпадения и определяется как

М = max_i (∀j) (j ≤ i ⊃ х_j = у_j).

Тем самым М равно максимальному числу мест (считая от сильнейших к слабейшим), в которых обе классификации в точности совпадают. Статистика R характеризует близость двух классификаций в целом, а M — совпадение верхних частей классификаций[11].

Тема. Напишите программу, читающую исходное значение n, проводящую каждый из трех турниров для 2n соперников и вычисляющую статистики R и M для каждой из трех пар классификаций. Проведите эксперимент большое число раз с постоянным значением n и подсчитайте средние значения M и R. Сравните, какая из двух систем — швейцарская или с немедленным выбыванием — лучше повторяет результаты кругового турнира.

Указания исполнителю. Разумеется, нужно досконально разбираться в разных системах проведения турниров, нужно эффективно программировать подбор пар. Но не упустите из виду еще один момент. Размеры кругового турнира заставляют эффективно запрограммировать внутренний цикл и экономно расходовать память для хранения результатов встреч. Разумеется, вам понадобится хороший генератор случайных чисел для определения результатов встреч. Наконец, при швейцарской системе возможны попытки дважды свести одну и ту же пару соперников, поэтому либо докажите, что такого не произойдет, либо измените алгоритм, избегая повторных встреч, но подчиняясь общему правилу: старайтесь сводить в пары соперников, набравших почти равное количество очков.

Инструментовка. Годится алгебраический процедурный язык с хорошими управляющими структурами цикла. Возможно, подойдет и APL или другой язык обработки массивов, если только вы сумеете так организовать турниры, чтобы стала выгодной параллельная обработка всех соперников.

Длительность исполнения. Одному исполнителю на 2 недели.

Развитие темы. Большинство расширений включает более подробный анализ и сравнение систем проведения турниров. Во-первых, заметьте, что нижняя часть классификации по итогам турнира с немедленным выбыванием носит довольно произвольный характер. Кроме того, соперникам, попавшим в эту часть классификации, весьма тоскливо, ибо они рано вылетели. Для утешения можно организовать турниры с немедленным выбыванием среди неудачников каждого круга. Результаты этих турниров, а не приведенное выше правило, расставят неудачников по местам. Поскольку и в этих побочных турнирах будут проигравшие, организуйте турниры неудачливых неудачников, и так до посинения. Заметьте, что турнир по-прежнему пройдет в n кругов, но теперь все соперники будут участниками всех кругов. Если во всех встречах побеждают сильнейшие, этот, более тщательно организованный турнир превращается в законченный алгоритм сортировки.

Вообще, турниры — это сортировка участвующих в них соперников, хотя правило сравнения и носит вероятностный характер. На основе любого метода сортировки, не нарушающего двух основных правил турниров, можно организовать состязание. Вот основные правила:

1. Ни один из соперников не должен участвовать более чем в одном матче одного круга, а число кругов должно примерно равняться логарифму числа участников.

2. Никакие два соперника не должны встречаться больше одного раза.

Используя изложенные идеи, вы можете оценить и классические способы проведения турниров, такие, как отложенное выбывание, и способы, придуманные вами.

В голову приходит также несколько статистических вопросов. Как влияет частичное или полное рассеивание на турниры с немедленным выбыванием? Как влияет случайная жеребьевка (т. е. случайное составление начальных пар) на ход турниров по швейцарской системе? Каков будет эффект введения иной функции превосходства? Наконец, поскольку для получения итоговой статистики по нескольким экспериментам, видимо, нельзя просто усреднять две наши статистики, спрашивается: какая статистическая операция должна быть использована?

Литература

Харкнесс (Harkness К.). Official Chess Handbook. David McKay, New York, NY, 1967.

Книга Харкнесса содержит исчерпывающее изложение шахматной юрисдикции. Поскольку швейцарская система сделала возможным проведение в Соединенных Штатах больших открытых турниров, автор чрезвычайно подробно излагает все ее тонкости. В книге содержится много предложений по разрешению неясных ситуаций и упорядочению игроков.

Кнут (Knuth D. E.). The Art of Computer Programming/Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley, Reading, MA, 1969. [Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные алгоритмы. — М.: Мир, 1977.]

Глава 3 этой «библии» посвящена случайным числам, их порождению и использованию. Вы узнаете об опасности трюкачества в этой области. Рекомендуем вам воспользоваться генератором Макларена — Марсальи, который Д. Кнут описывает в алгоритме М.