Элементы мысли

Первый случай представляется особенно поразительным с следующей стороны. Математика как наука аналитическая о пространственных и количественных отношениях не может не дробить своих исходных конкретных представлений, и она дробит их сильнее всякой естественной науки, доводя представление о пространстве до понятия о математической точке, не имеющей никаких измерений, и вообще представление о величине до понятия о бесконечно малых величинах; а между тем операция дробления совершается здесь без посредства всякого вооружения или изощрения наших органов чувств, подобного, напр., микроскопу в деле исследования мелких форм или магнитной стрелке в деле определения электрических движений и пр. Операция эта совершается, очевидно. в уме (одна из многочисленных причин, почему математика называется чисто умозрительной наукой), и, стало быть, ум как бы опережает наши органы чувств, заходит глубже их в пространственные и количественные отношения. Как же помирить подобные факты с только что развитым воззрением, по которому исходным материалом мышления должен быть анализ реальных впечатлений под контролем органов чувств, и как объяснить себе особенно то обстоятельство, что именно математическое-то мышление, имеющее дело с чистыми абстрактами, и непогрешимо, тогда как предполагаемый корень его, реальное мышление (правильнее, мышление о реальностях), кишит промахами и ошибками? С виду все это верно, но на деле все корни математического мышления в сказанном направлении лежат все-таки в реальностях. Нетрудно заметить, во-первых, что дробление пространства до математической точки и всякой вообще величины до понятия о бесконечно малом вовсе не представляет операций, трудных в умственном отношении, — на них способны люди, не только мало знакомые с математикой (как, например, я), но и дети. С другой стороны, понятно, что с этими понятиями, взятыми в отдельности, никто, даже самый первый математик на свете, не может связывать никаких определенных представлений, значит, и в этом отношении все люди равны. Взятая в отдельности математическая точка понятна только со стороны ее логического происхождения: это есть материальная точка без ее существенных атрибутов, т. е. измерений в трех направлениях, как будто пустая форма без содержания (фигура!), но в сущности антитез не только всему пространственному, но и всему реальному (понятие «пространственное» всегда заключается в понятии о «реальном», как часть в целом) — ничто. Логическое происхождение «математической точки» особенно легко понять на том основании, что ее можно получить и прямым переносом процесса умственного дробления с реальных объектов (разумеется, пространственных) на словесный образ или словесное определение материальной точки. Для математика последняя есть такая величина, которая представляет одно только свойство или атрибут — измеримость в трех направлениях; атрибуты вещей мы можем отделить умственно от самой вещи (это выделение и выражается именно словом); отделяем их в данном случае, и получается прежний (?!) объект — точка, но уже без атрибута. Понятие о «бесконечно малом» еще более обще, чем предыдущее, но происхождение его то же самое — это есть антитез всему конечному, реальному, в сторону дробления, — величина, как говорят, приближающаяся к нулю, но в сущности самый нуль, ничто. Но как же математика может мыслить и мыслить непогрешимо, имея дело с пустыми абстрактами? Дело в том, что она никогда не употребляет эти понятия в дело взятыми отдельно, а вводит их в анализ как логическое условие; в этом смысле говорится, что всякая конечная величина в бесконечное число раз больше всякой бесконечно малой, математическая линия имеет одно только измерение, непрерывное движение есть бесконечно быстрый ряд бесконечно малых отдельных толчков и пр. В некоторых из этих умозаключений непосредственно чувствуется отголосок реальности (например, расчленение непрерывности движения), а в других высказывается способность ума переносить продукты анализа, а через это и самый анализ, с форм более сложных или конкретных на формы более простые, обобщенные (например, случай происхождения линии из движения точки и пр.). Наиболее поразительные примеры последней способности представляет опять-таки математика. Разделив, например, все величины условно на две категории — положительные и отрицательные, — она чисто логически переносит все действия с одной категории на другую, и продуктом такого переноса является, между прочим, понятие о мнимых величинах, которое, будучи взято в отдельности, представляет абсурд, невозможность, а принятое как логическое условие, представляет средство для анализа. Что касается до непогрешимости выводов математического мышления, то условие ее лежит, очевидно, не в какой-нибудь особенности логического метода, употребляемого математиками, — наука представляет бесчисленные примеры абсурдов, до которых ум человеческий доходил, однако, строго логически, — а в свойствах материала и именно в чрезвычайной простоте его. Самым ярким доказательством этого могут служить те случаи из области физических конкретных фактов, которые допускают уже приложение к ним математического анализа. Во всех подобных случаях явление должно быть расчленено до степени нерасчленяемых более факторов, и тогда они входят в анализ явления в форме совершенно определенных условий, которые могут давать только определенные выводы, или умозаключения. Для того чтобы погасить зажженную свечку, нужно, по-видимому, только одно условие — дунуть на нее; но в этой общей форме условие оказывается далеко не определенным в смысле роковой зависимости от него потухания пламени — нужно дунуть с известной силой, с известного расстояния, да еще чтобы в светильне не было таких веществ, которые примешивают к фосфорному составу обыкновенных спичек, если хотят сделать их способными гореть на ветру, и пр. Вот эти-то частные условия и являются в математическом явлении абсолютно определенными вследствие их дальнейшей нерасчленяемости. Корни метафизических учений лежат в совершенно естественном и потому совершенно законном стремлении (мы даже знаем физиологические основы его) человека выделять умственно из конкретных фактов отдельные признаки их и