Элементы мысли

Если х обозначает какую-либо неизвестную величину и она связана каким-либо образом с другой известной я, то обе вместе представляют новую неизвестную у; например, а +х = у Если при этом ставить на место х какие-либо известные величины в одеянии букв или чисел, или, как говорится, считать ж величиной переменной, то каждой определенной перемене х будет соответствовать определенная перемена всей суммы, т. е. у: поэтому и говорят, что в данном уравнении х представляет независимую переменную, а у — зависимую. Первая, очевидно, играет роль причины, а у — роль эффекта; тем более что и здесь связь между величинами х-у, как между причиной и эффектом, роковая. Таков исходный пункт учения о функциях; корни его, очевидно, лежат в арифметике; а дальнейшее развитие сводится в сущности на изучение отношений между зависимыми и независимыми переменными, когда последние изменяются непрерывно с различной быстротой. При этом, по самому смыслу факта непрерывного изменения, изучению должны подлежать мгновенные формы изменений — величины, приближающиеся к нулю. Последняя мысль лежит опять в основе высшего анализа и представляет самоочевидную истину; корни же ее лежат, очевидно, в таких чувственных наблюдениях, как течение воды или сякое вообще видимое движение, и в простых опытах вроде следующего. Ряд близких несоприкасающихся точек кажется с известного расстояния сплошной линией; следовательно, перемещение пера, произведшего эту линию, состояло из ряда отдельных коротких фаз, а результат получился такой, словно передвижение было непрерывно. Значит, разница между математической и чувственной непрерывностью следующая: та, по ограниченности наших чувств, может быть лишь кажущейся, а та абсолютна.

Все доселе перечисленное составляет, так сказать, фон математического мышления; и на нем, рядом с построениями, носящими более или менее ясный отзвук действительности, или такими, которые по этому самому условно приложимы к реальностям (как идеальный образец к соответствующему приближению), на каждом шагу встречаются полные разрывы с действительностью. Произведениям из трех множителей, величинам в 3-й степени и функциям о двух независимых переменных соответствуют еще отвлечения от реальностей — объемы; а соответственные выражения кверху от этих пределов уже не имеют никаких основ в действительности. Отрицательные величины условно приложимы к реальностям, а так называемые мнимые величины представляют количественные невозможности — не величины, а формы. А между тем в анализе все такие построения являются равноправными членами с остальными, т. е. математик, оперируя над ними обычными для прочих величин способами, получает верные результаты.

По смыслу все такие построения суть продукты обычных в математике операций над знаками количеств — над формами, независимо от содержания. Имея дело с абстрактами, математик неизбежно приводится к мышлению формами, т. е. внешними изображениями абстрактов; непогрешимость же его выводов при таком условии определяется тем, что в математике (и только здесь) форма вполне соответствует содержанию. Так, в алгебре одним простым знаком очень часто выражается величина, действие над нею и результат; в случае же, если результат неизобразим коротким знаком, его изображает так называемая формула.

Отсюда уже становится понятно происхождение всех вообще разрывов математики с действительностью, в основе их лежит размножение форм по аналогии и путем обобщения.

Совокупность всех таких построений в математике и была мной отнесена в четвертую категорию внечувственных объектов, под именем логических построений без реальной подкладки.

Как же отнестись к таким проявлениям человеческого ума? Представляют ли они наивысшую инстанцию мышления, создавая продукты, заходящие за всякие пределы опыта, и дают ли право думать, что человеческая мысль способна вообще, т. е. не в одной области количественных отношении, заходить безнаказанно за эти пределы, путем логических или, как часто говорится, путем умозрения? Отрицательный ответ на первый вопрос очень прост и ясен: все трансцендентные, т. е. превосходящие опыт, математические построения производятся, как уже было сказано, обычными логическими операциями, знаками, следовательно, не открывают никаких новых особенностей в мыслительной способности человека. Что же касается второго вопроса, ответ на него всего естественнее искать в истории развития (именно в прогрессировании) опытных знаний, так как именно здесь творческая мощь человеческого ума выступает за все последнее столетие с особенной яркостью.