Движение. Теплота

Рассмотрим силы тяготения, действующие в точке, лежащей внутри земного шара, со стороны внешнего слоя. Если разбить этот слой на тонкие слои, вырезать в одном из них маленький квадратик со стороной a₁ и протянуть линии от периметра квадрата через точку О, тяжесть в которой нас интересует, то в другом месте слоя получится квадратик другого размера со стороной а₂ (рис. 67). Силы притяжения, действующие в точке О со стороны двух квадратиков, направлены противоположно и пропорциональны по закону тяготения m₁/r₁² и m₂/r₂². Но массы квадратов m₁ и m₂ пропорциональны площадям квадратов. Поэтому силы тяготения пропорциональны выражениям a₁²r₁² и a₂²/r₂².

Однако эти отношения равны. Из рис. 67 видно, что а₁/r₁ и a₂/r₂ суть отношения соответственных сторон треугольников ОА₁В₁ и ОА₂В₂, которые будут подобными, если взять стороны квадратиков А₁В₁ и А₂В₂ очень малыми. А это мы всегда можем сделать.

Действительно, если квадраты малы, то направления отрезков А₁В₁ и А₂В₂ мало отличаются от направлений касательных к этим точкам. Тогда можно считать угол В₁А₁О и угол, дополнительный к A₂B₂O равными как углы, образованные касательной и хордой, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Следовательно, . Кроме того, равны углы и при вершине. Значит, и треугольники подобны.

Из этого геометрического доказательства следует, что a₁/r₁ = a₂/r₂, а значит, силы притяжения, действующие в точке О со стороны двух квадратиков, уравновешиваются.

Разбив тонкий слой на подобные пары «противоположных» квадратов, мы установили замечательный факт: тонкий однородный шаровой слой не действует на точку, расположенную внутри него. Но это верно для всех тонких слоев, на которые мы разбили шаровой пояс, лежащий над интересовавшей нас подземной точкой.

Значит, земной слой, находящийся над телом, все равно что отсутствует. Действие отдельных его частей на тело уравновешивается, и суммарная сила притяжения со стороны внешнего слоя равняется нулю.

Конечно, во всех этих рассуждениях мы считали плотность Земли постоянной внутри каждого слоя.

Результат наших рассуждений позволяет легко получить формулу для силы тяжести, действующей на любой глубине H под землей. Точка, расположенная на глубине H, испытывает лишь притяжение со стороны внутренних слоев Земли. Формула для ускорения силы тяжести g = γ(M/R) применима и для этого случая, но M и R – это масса и радиус не всей Земли, а ее «внутренней» по отношению к этой точке части.

Если бы Земля имела одинаковую плотность во всех слоях, то формула для g приняла бы вид:

где ρ – плотность, R_З – радиус Земли.

Это значит, что g менялось бы прямо пропорционально (R_З – H): чем больше глубина H, тем меньше было бы g.

На самом же деле поведение g вблизи земной поверхности – мы можем проследить за ним вплоть до глубин 5 км (ниже уровня моря) – совсем не подчиняется этому закону. Опыт показывает, что в этих слоях g, наоборот, растет с глубиной. Расхождение опыта с формулой объясняется тем, что не было учтено различие плотности на разных глубинах.

Средняя плотность Земли легко находится делением массы на объем земного шара. Это приводит нас к цифре 5,52. В то же время плотность поверхностных пород много меньше – она равна 2,75. Плотность земных слоев растет с глубиной. В поверхностных слоях Земли этот эффект берет верх над идеальным уменьшением, которое следует из выведенной формулы, и величина g возрастает.

Энергия тяготения

На простом примере мы уже познакомились с энергией тяготения. Тело, поднятое на высоту h над землей, обладает потенциальной энергией mgh.

Однако этой формулой можно пользоваться лишь тогда, когда высота h много меньше радиуса Земли.

Энергия тяготения – важная величина, и интересно получить формулу ее, которая годилась бы для тела, поднятого на любую высоту над землей, а также вообще для двух масс, притягивающихся по универсальному закону:

Положим, что под действием взаимного притяжения тела немного сблизились. Между ними было расстояние r₁, а стало r₂. При этом совершается работа A = F(r₁ – r₂). Значение силы надо взять в какой-то средней точке. Итак,

Если r₁ и r₂ мало отличаются друг от друга, то можно заменить r_ср² произведением r₁r₂. Получаем:

Эта работа произведена за счет энергии тяготения:

A = U₁ − U₂,

где U₁ – начальное, а U₂ – конечное значение потенциальной энергии тяготения.

Сопоставляя эти две формулы, находим для потенциальной энергии выражение

Оно похоже на формулу силы тяготения, но в знаменателе стоит r в первой степени.

По этой формуле при очень больших r потенциальная энергия U = 0. Это разумно, так как на таких расстояниях притяжение уже не будет чувствоваться. Но при сближении тел потенциальная энергия должна уменьшаться. Ведь за ее счет происходит работа.

А куда же уменьшаться от нуля? В отрицательную сторону. Поэтому в формуле и стоит минус. Ведь −5 меньше нуля, а −10 меньше −5.

Если речь идет о движении около земной поверхности, то общее выражение силы тяготения можно заменить произведением mg. Тогда с большой точностью U₁ − U₂ = mgh.