До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Еще одной причиной известности Диофанта стала история создания теоремы Ферма. Вкратце она выглядит так: во времена Ферма были опубликованы почти все труды Диофанта из тех немногих, что дошли до наших дней. Читая книги, Ферма обычно писал свои комментарии на полях. Одно из предложений Диофанта, приведенных в тексте, натолкнуло Ферма на размышления и вдохновило его на создание теоремы, позже названной Великой теоремой Ферма. Она абсолютно безобидна с виду и кажется довольно простой. Ферма утверждал, что нашел для нее превосходное доказательство, которое не смог записать, поскольку на полях книги не хватило места; по крайней мере, такую версию распространил сын ученого. Тем не менее найти доказательство никому не удавалось до конца XX века (это сделал Эндрю Уайлс в 1995 году). Диофант написал 11 книг по арифметике, из которых до наших дней дошло только шесть (есть еще четыре, авторство которых не установлено). В них содержится более 100 задач, приводящих к диофантовым уравнениям, но в их решениях нет и следа математического метода, а только лишь проявление необыкновенного гения ученого.

Уильямом Браункером (1620-1684), признанным отцом этого знаменитого уравнения. Джулия Робинсон (1919-1985) с его помощью смогла решить десятую проблему Гильберта, одну из самых сложных в современной математике. Она состояла в том, чтобы проверить, существует ли алгоритм, способный определить, имеет ли произвольное диофантово уравнение целое решение. Окончательный ответ — нет.

ПРОБЛЕМА ЭЙЛЕРА И ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Знаменитая проблема Эйлера, сформулированная в 1769 году, связана с диофантовым уравнением вида

х⁴ + у⁴ + z⁴ = u⁴.

ГИПОТЕЗА О СУММЕ СТЕПЕНЕЙ

Французский математик Огюстен Луи Коши (1789-1857) вошел в историю благодаря своему таланту, сделанным открытиям, сформулированным теоремам и понятиям, а также противоречивому характеру. Его чрезмерная набожность и нежелание признавать заслуги коллег составляли темную сторону сложной натуры ученого. Однако с ним связан один анекдот, который показывает его более приятное лицо и его неподражаемое французское чувство юмора. Согласно этой истории, а точнее легенде, однажды Коши, который получал множество рукописей на проверку, в одной из них нашел доказательство, в стиле Ферма, несуществования целых чисел х, у, z, которые удовлетворяли бы диофантову уравнению:

x³ + y³ + z³ = u³.

В тот день Коши пребывал в хорошем расположении духа и, даже не прочитав всего доказательства, написал ответ, занимавший одну строку. Его кратким вердиктом было:

З³ + 4³ + 5³ = 6³.

Действительно, 27 + 64 + 125 = 216, в чем может убедиться любой ученик средней школы.

Упрощая, мы можем сказать, что она постулирует невозможность существования целых х, у, г и и, при которых равенство было бы верным. Долгое время это предположение считалось справедливым, пока американский математик Ноам Элкис (1966) не опроверг его, опубликовав в 1988 году такой пример: