Диалоги (ноябрь 2003 г.)

Так вот, оказалось, что эта алгебра Гамильтона даже в большей степени «живет» и описывает и как бы «кодирует» наше трехмерное пространство, чем комплексные числа – двумерное (пространство). Потому что, если вы будете поворачивать плоскость, на которой «живут» комплексные числа, закон умножения будет меняться, будет оставаться постоянным только «модуль» комплексного числа. А если вы будете вращать трехмерное пространство, то закон умножения этой алгебры – и она единственная такая – будет оставаться инвариантным, он будет один и тот же во всех системах отсчета. Математики говорят, что группа симметрий, группа автоморфизмов этой алгебры соответствует группе вращений трехмерного пространства.

И поэтому после открытия Гамильтона начался настоящий кватернионный «бум», который продолжался долгие годы и даже вспыхивает эпизодически до сих пор. И действительно, эта алгебра удивительно тесно связана со свойствами нашего трехмерного пространства. Известно, что даже движение твердых тел, движение спутников и тому подобное рассчитывается очень легко и изящно в кватернионных переменных. До сих пор ничего лучшего невозможно предложить, это самый элегантный и самый простой математический аппарат, который позволяет все это рассчитывать.

Но Гамильтона волновало не это. Он хотел понять, как свойства физического Мира могут быть «скрыты» во внутренних свойствах этой алгебры. И более того: поскольку оказалось, что триплеты перемножать нельзя так красиво, как величины, содержащие четвертую единицу, у него сразу появилась мысль: а не связать ли эту четвертую единицу, действительную единицу, с физическим Временем? Это было задолго до теории относительности, задолго до Г. Минковского, который связал геометрически время и координаты в единое 4-мерное многообразие.

Конечно, ничего этого у Гамильтона не получилось. И теперь мы хорошо понимаем, почему: потому что эта алгебра не имеет прямого отношения к преобразованиям Лоренца. Для преобразований Лоренца, свойственных нашему миру и основных в теории относительности, эта алгебра чуждая. И это было одной из причин, почему со временем наступило разочарование в идеях Гамильтона и его последователей.

Где же нашелся выход? Выход нашелся в том, чтобы эту алгебру «удвоить», то есть каждую из ее компонент считать комплексной. Тогда мы естественно переходим к алгебре, содержащей преобразования Лоренца в качестве симметрии; но удивительным образом она оказывается тогда 8-мерной. И только в каком-то определенном подпространстве этого 8-мерного пространства, оказывается, действует геометрия нашего мира. Есть другие «срезы» и другие отвечающие им геометрии. Куда девать эти лишние измерения? Это очень долго было загадкой. И для меня, когда я начинал, это было загадкой. Сейчас я знаю примерный ответ на этот вопрос: они нужны; они нужны для того, чтобы в этом мире могли существовать нетривиальные физические поля и частицы-особенности – об этом позже.

Давайте поговорим теперь о том, что же такое сам по себе алгебродинамический подход? С чего он начался?

В теории функций комплексного переменного есть т.н. условия дифференцируемости, которые называются уравнениями Коши-Римана. Обычно их проходили раньше в университете в курсе теории функций комплексного переменного. Эти «условия аналитичности» представляют собой очень простые линейные дифференциальные уравнения.

Много попыток предпринималось для того, чтобы обобщить эти условия, эти уравнения, на алгебры больших размерностей, в частности, на алгебры типа кватернионов. Но необычное свойство некоммутативности этих алгебр приводило к тому, что все эти попытки оказывались или просто неудачными, или они полностью воспроизводили то, что мы знали из комплексного анализа, ничего нового не добавляя.

Я же попробовал учесть эту некоммутативность с самого начала, то есть определить свойства аналитичности функций в этих алгебрах так, чтобы в этом определении свойство некоммутативности фигурировало с самого начала. Я не буду забивать головы слушателей формулами, просто покажу одну формулу (покажите, пожалуйста, формулу № 1) для общего понимания «плотности информации», которая здесь имеет место. В этой формуле всего 4 значка, это условия дифференцируемости функций бикватернионного переменного – все отображения, все функции, которые удовлетворяют этому соотношению, мы рассматриваем как физические поля.

Для того чтобы найти конкретно физические поля, для того чтобы описать их особенности, нам нужно просто решить эти математические уравнения. Мы можем вообще при этой процедуре ничего не говорить ни о полях, ни о частицах, ни о пространстве-времени; мы можем просто говорить об отображениях, об особых точках этих изображений, то есть о чисто абстрактных математических понятиях. И только на самом дальнем этапе, когда у нас уже вырисовывается математическая картина, мы можем с достаточной уверенностью сказать, что это вот надо интерпретировать как поля, это как частицы, это как взаимодействие (а это как «световые потоки», о которых я попозже хочу поговорить).