Диалоги (июнь 2003 г.)

И теорема Гёделя, во всяком случае, её доказательство, используя определённые находки, довольно любопытные технические находки, в некотором смысле моделирует этот парадокс. У Гильберта, которого я уже упоминал, была уверенность, что можно создать такую систему аксиом для всей математики, из которой будут следовать все математические утверждения. Это такая вера была. И он предложил программу формализации математики. А Гёдель, собственно, его опроверг. Он показал, что если аксиоматическая система достаточно богата, то в ней обязательно можно сформулировать утверждение, которое не может быть доказано, но которое будет верным. А в основе этого лежит следующее, что и для этого требуется не весь язык математики, а язык, который говорит просто о натуральных числах, 0, 1, 2, 3, о сложении и умножении. Язык достаточно ограниченный. Но если использовать такой способ, который называется нумерация, то есть если занумеровать все формальные выражения с помощью чисел (а эти утверждения формального языка сами говорят о числах), то можно говорить о самих себя. Проблема самоприменимости кодируется, используя нумерации. То есть сам подход математически был весьма оригинальным, а дальше уже само рассуждение и приведение к противоречию получается достаточно просто.

А.Г. Если позволите, два вопроса, поскольку у нас не так много времени осталось. Первый касается как раз теоремы Ферма. Все ли доказательства равноценны? Потому что ведь Ферма наверняка имел в виду некое другое доказательство собственной теоремы, а не то, которое получил американец, если не ошибаюсь…

Ю.Е. Эндрю Уайлс.

А.Г. …Эндрю Уайлс 300 лет спустя. И таким образом, можно ли считать теорему Ферма доказанной? Это первый вопрос.

Ю.Е. Безусловно, так, как эта теорема сформулирована, в таком виде Уайлс её и доказал. Использовал ли он те средства, которые были доступны Ферма? Ответ – безусловно, нет. Я уже об этом говорил, в доказательстве Уайлса используются очень современные средства, причём, которые создавались в течение многих лет. Так что это, безусловно, не то, на что надеялся или о чём заявил Ферма. Известно, что он заявил, что «поля книги слишком малы для того, чтобы я смог воспроизвести то удивительное доказательство, которое я нашёл». Но, тем не менее, многовековая экспертная оценка утверждает, что, по-видимому, Ферма всё-таки не имел доказательства.

А.Г. И второй вопрос. То, что является священной коровой для одних наук, естественных, скажем, для физики, и что формулируется как принцип Оккама или бритва Оккама – отсекай ненужные сущности – в математике напрочь опровергается, судя по вашим словам. То есть математика создаёт сущности на каждом шагу и оказывается, что они необходимы для существования самой математики.

Ю.Е. Не совсем так. Дело в том, что идёт отбор этих сущностей. Они создаются, они пробуются. Те сущности, которые себя оправдывают, они остаются. А те, которые, как говорится, не подтвердили свою полезность, свою нужность, они просто отпадают. И в этом отношении, кстати, на математику можно смотреть и как на экспериментальную науку. Математики создают орудия, пробуют их, выбрасывают ненужные и оставляют нужные. Но то, что, как говорится, умножать сущности иногда нужно. Это сделали, например, уже упомянутые здесь Галуа и Абель, которые решили известную проблему о том, что корень общего уравнения пятой степени неразрешим в радикалах, то есть нельзя написать формулу теми ограниченными средствами, которые есть. Так вот, для ответа на этот вопрос необходимо было выйти за пределы сущности классической математики. Для этого нужно было ввести новые понятия. Без этих новых понятий ответа бы не было. Так что создание новых сущностей является обязательным. Но тем не менее, во-первых, есть естественный отбор, а, во-вторых, иногда математики позволяют себе декларировать, по крайней мере, абсолютную свободу. В принципе я могу написать некоторую систему аксиом и буду её исследовать и, как говорится, никто мне не запретит. Это правильно, никто не запретит. Но в реальной жизни, конечно, так не происходит. Потому что, во-первых, математическое сообщество может посмотреть на твои упражнения, но если ты ни одного человека…

Суперпарамагнетизм

17.06.03

(хр.00:51:14)

Участники:

Анатолий Константинович Звездин – доктор физико-математических наук

Константин Анатольевич Звездин – научный сотрудник