Леонид вырос в небогатой семье. Родители его были артистами: мать — хористка в Большом театре, отец — валторнист в оркестре Малого театра. Юношу с раннего детства манила сцена, и когда пришло время учебы, он стал экстернатным воспитанником Театрального училища. Как и все его соученики, он выступал в спектаклях не только Большого, но и Малого театра. В 12 лет мальчик исполнил роль Черномора в опере «Руслан и Людмила», а через год — роль Егорушки в пьесе «Бедность не порок». Из-за маленького роста Мясина дольше других занимали в детских ролях. Как пишет исследователь его жизни и творчества Е. Я. Суриц, «он исполнял все детские роли в балетах, включая обезьяну в „Дочери фараона“ (упомянут на афише), мальчика-с-пальчика в „Спящей красавице“ и иные детские роли в спектаклях Малого театра: Мишка в „Ревизоре“, мальчики в ряде пьес Островского».
Наибольшего успеха он добился в те годы именно в Малом театре. Особенно удачной для Леонида оказалась роль Мити Неплевкина в пьесе Персияновой «Большие и маленькие». Премьера ее состоялась в декабре 1911 года в бенефис актрисы Н. А. Никулиной. Успех постановки оказался так велик, что пьеса оставалась в репертуаре театра на протяжении всего следующего года. Рецензент газеты «Новости сезона» писал, что Мясин играл «увлекательно, молодо, интересно»: «Ни одной фальшивой ноты, и юмор, и пафос — всё хорошо», — и предрекал юному исполнителю большое будущее. Отметил выступление начинающего актера и корреспондент журнала «Театр»: «…из мужского состава наиболее интересным оказался Митя, воспитанник Мясин».
После окончания в 1912 году Театрального училища Мясин успешно сыграл еще несколько ролей в Малом театре. А вот его выступления в балете ни публикой, ни критикой замечены не были, да и сам Леонид не чувствовал от них творческого удовлетворения, считал, что плохо подготовлен как танцовщик. В одном из писем он признается: «Танцы моя самая слабая сторона». Поэтому его не раз посещала мысль уйти из балета и стать драматическим артистом.
В пору душевных волнений и выбора пути Мясин встречает Дягилева, и тот, увидев Леонида на сцене, предлагает ему место в труппе Русского балета, которая к тому времени прославилась чуть ли не во всем мире. Как быть? С одной стороны, юношу неудержимо манит драматическая сцена, к тому же он наслышан о скандальной репутации своего знаменитого собеседника, а с другой… как отказаться от столь заманчивого предложения? Видимо, сама судьба вела его по предначертанному пути. Годы спустя он напишет в книге «Моя жизнь в балете»: «Я по-прежнему не могу понять, что толкнуло меня согласиться. Но, надо сказать, мне было всего восемнадцать лет…»
Дягилев же остался очень доволен. Рассказывая режиссеру Григорьеву о впечатлении, которое произвел на него Мясин, Сергей Павлович добавил: «Если он проявит трудолюбие, то, думаю, из него выйдет толк. Во всяком случае, его внешние данные идеально подходят для роли Иосифа».
Вскоре новый член труппы отправился в Санкт-Петербург, где должен был продемонстрировать свои способности Фокину. Михаил Михайлович, желая оценить элевацию Мясина, попросил его перепрыгнуть через стул — и сразу же начал готовить с ним роль Иосифа. После первой же репетиции импресарио, который внимательно следил за успехами своего протеже, спросил хореографа, что тот думает о возможностях Леонида. Михаил Михайлович тут же вынес вердикт: «Талантливый юноша, но плохой танцовщик. Боюсь, что придется упростить его роль». Возможно, он ждал возражений со стороны «диктатора», зная, какое значение тот придает новому балету.
Но Дягилев спорить не стал. Пусть так! До открытия 9-го Русского сезона в Париже остается еще четыре месяца, а значит, у Мясина есть время научиться хорошо исполнять не только простые, но и сложные движения, тем более что с ним поработает на совесть маэстро Чекетти. Всё обязательно получится! Убеждая себя в этом, Сергей Павлович везет Леонида в Италию, где тот до изнеможения работает у балетного станка, а в перерывах между занятиями посещает вместе с наставником музеи, заполняя пробелы в своем художественном образовании.
Сергей Павлович не ошибся в новом избраннике. Среди достоинств Мясина были не только красота и ум, но и феноменальная работоспособность. Его дебют состоялся уже во время гастролей труппы в Германии. В балете «Петрушка» Леонид исполнил крохотную партию сторожа на ярмарке. Конечно, говорить о большом успехе юного артиста было пока рано. Но он выполнял все указания Фокина, продолжавшего работать с ним над постановкой «Легенды об Иосифе», и рисунок роли выступал с каждым днем всё отчетливее.