Чистый код. Создание, анализ и рефакторинг

Вычисление возможных вариантов упорядочения

Из сообщения электронной почты, отправленного Дядюшкой Бобом Бретту:

При N шагов и T потоков общее количество в итоговой последовательности шагов равно T * N. Перед каждым шагом происходит переключение контекста, в ходе которого производится выбор между T потоками. Каждый путь может быть представлен в виде последовательности цифр, обозначающей переключение контекстов. Так, для шагов A и B с потоками 1 и 2 возможны шесть путей: 1122, 1212, 1221, 2112, 2121 и 2211. Если использовать в записи обозначения шагов, мы получаем A1B1A2B2, A1A2B1B2, A1A2B2B1, A2A1B1B2, A2A1B2B1 и A2B2A1B1. Для трех потоков последовательность вариантов имеет вид 112233, 112323, 113223, 113232, 112233, 121233, 121323, 121332, 123132, 123123, . . . .

Одно из свойств этих строк заключается в том, что каждый поток должен присутствовать в строке в N экземплярах. Таким образом, строка 111111 невозможна, потому что она содержит шесть экземпляров 1 и нуль экземпляров 2 и 3.

Итак, нам нужно сгенерировать перестановки из N цифр 1, N цифр 2… и N цифр T. Искомое число равно числу перестановок из N * T объектов, то есть (N * T)!, но с удалением всех дубликатов. Таким образом, задача заключается в том, чтобы подсчитать дубликаты и вычесть их количество из (N * T )!.

Сколько дубликатов содержит серия для двух шагов и двух потоков? Каждая строка из четырех цифр состоит из двух 1 и двух 2. Цифры каждой пары можно поменять местами без изменения смысла строки. Мы можем переставить две цифры 1 и/или две цифры 2. Таким образом, каждая строка существует в четырех изоморфных версиях; это означает, что у каждой строки имеются три дубликата. Три варианта из четырех повторяются, то есть только одна перестановка из четырех НЕ ЯВЛЯЕТСЯ дубликатом. 4! * 0.25 = 6. Похоже, наша схема рассуждений работает.

Как вычислить количество дубликатов в общем случае? Для N = 2 и T = 2 можно переставить 1 и/или 2. Для N = 2 и T = 3 можно переставить 1, 2, 3, 1 и 2, 1 и 3 или 2 и 3. Количество вариантов равно количеству перестановок N. Допустим, существует P разных перестановок N. Количество разных вариантов размещения этих перестановок равно P**T.

Таким образом, количество возможных изоморфных версий равно N!**T. Соответственно, количество путей равно (T*N)!/(N!**T). Для исходного случая T = 2, N = 2 мы получаем 6 (24/4).

Для N = 2 и T = 3 количество путей равно 720/8 = 90.

Для N = 3 и T = 3 получается 9!/6^3 = 1680.