Как бы там ни было, человек узнал о существовании двух классов чисел: рациональных и иррациональных. В их отношении между собой выступает операция сравнения, но уже не по величине, как раньше (больше-меньше), а по признаку соизмеримости, т.е. наличия или отсутствия общей меры. Всякий раз таким образом сопоставляется пара чисел, пара классов, т.е. данное отношение – бинарно, n = 2. На этом история не закончилась.
Развитие математики и механики выявило особую роль такого часто встречающегося числа как , затем открыли другое замечательное число, получившее обозначение
Вообще в данный период – в канун и вместе с европейскими революциями 1848 г. – в математике происходит много ярких событий, так или иначе имеющих отношение к теме книги, что, возможно, не удивительно: начиналась подлинная революция в математике, предварившая великие потрясения и открытия конца ХIХ – начала ХХ вв. в физике, философии, искусстве, политике и др. Но об этом речь впереди, а в настоящем контексте упомянем немецкого ученого Р.Дедекинда, обосновавшего теорию действительных чисел и предложившего строгий аксиоматический метод введения чисел иррациональных (так называемые дедекиндовы сечения). Однако сейчас нас интересуют числа трансцендентные.
Что они собой представляют? По определению – это те, которые не могут быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, т.е. числа неалгебраические, что навряд ли много скажет нематематику. Противопоставление классов алгебраических и неалгебраических (трансцендентных) чисел, тем не менее, исключительно важно, поскольку с алгеброй принято связывать саму нашу логику. Впоследствии такие логики и были формализованы в алгебраическом виде (математическая логика). В таком случае, быть числом неалгебраическим как бы означает "быть нелогичным", что, собственно, и запечатлелось в названии:
Пропасть между алгебраическими и трансцендентными числами подчеркивается теорией множеств, ставшей еще одним достижением ХIХ в., особенно второй половины – Б.Больцано, Г.Кантор, Р.Дедекинд. Хотя алгебраических чисел – рациональных и иррациональных – существует бесконечное количество, но их множество, как выражаются,
В прежней среде действительных чисел, но по-новому, была по сути развернута интеллектуальная драма, сходная с той, что некогда произошла при первой исторической встрече с иррациональными числами. К счастью, во второй раз математики оказались более подготовленными в морально-психологическом плане. Посмотрим, что у нас осталось в итоге.
Числа действительные (иначе их называют вещественными) делятся, во-первых, на рациональные и иррациональные, во-вторых, – на алгебраические и трансцендентные. В обоих случаях речь идет о характерной оппозиции: за числами одного сорта признается качество своеобразной "логичности", за числами другого сорта – нет. Сравнение в обоих контрастных противопоставлениях производится попарно, т.е. кратность отношений двойная, n = 2. Если свести вместе обе классификации, построенные над полем действительных чисел, то получится, что последнее состоит из чисел рациональных (целых и дробных), алгебраических иррациональных (наподобие 2) и трансцендентных. Их разделение фиксирует скачкообразное убывание специфической "логичности" (мы уже знаем, в каком смысле). Изобразим классификацию на рисунке:
Почему в итоге получилось три непересекающихся класса действительных чисел, т.е. почему М = 3? – Во-первых, в системе задано бинарное отношение сравнения ( n = 2 ); во-вторых, совокупность названных классов мыслится в качестве законченной и целостной. Откуда нам известно последнее? – От самих математиков, ибо они доказали так называемую теорему о полноте, утверждающую, что других классов действительных чисел не существует, сюрпризы с появлением новых не повторятся.