– Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Мухаммад ибн-Муса аль-Хорезми работал в Багдаде и примерно в 825 году написал здесь книгу, которая считается самым авторитетным трудом по алгебре той эпохи – «Книга восполнения и противопоставления», «Kitab al-jabr wa al-muqabalah». От ее названия – «аль-джебр» – пошло привычное для нас название науки «алгебра», поскольку это был первый учебник по этой дисциплине в Европе. Более того, слово «алгоритм», которым называется любой особый метод решения математической задачи при помощи набора определенных шагов-процедур, тоже происходит от искаженного «аль-Хорезми». «Книга восполнения» на несколько столетий стала синонимом теории уравнений. Уравнение, которое требовалось для решения одной задачи, представленной аль-Хорезми, очень похоже на уравнение-определение золотого сечения. Аль-Хорезми говорит: «Я поделил десять на две части; первую я умножил на десять, вторую – на саму себя, и результаты оказались одинаковыми». Неизвестную величину аль-Хорезми обозначил как «шай» – «вещь». Следовательно, первая часть условия вышеприведенной задачи сводится к фразе «умножаешь “вещь” на десять, получается десять “вещей”». Таким образом, первое уравнение выглядит так: 10 x x = (10 – x)², то есть формула для вычисления меньшей части отрезка длиной в 10 единиц, разделенного в золотом сечении. Вопрос в том, имел ли аль-Хорезми в виду золотое сечение, когда формулировал эту задачу. Под влиянием аль-Хорезми неизвестную стали в ранних латинских работах называть «res», а в переводах на итальянский – «cosa» («вещь, дело»). Соответственно, алгебра прославилась как «l’arte della cosa» («искусство вещи», «искусство неизвестной»). Иногда ее называли также «ars magna» – «великое искусство» – в противоположность арифметике, которая считалась не таким великим искусством.

Другой арабский математик, внесший свой вклад в историю золотого сечения, – это Абу Камил Шуджа по прозвищу аль-Хасиб аль-Мисри, что значит «вычислитель из Египта». Родился он около 850 года, вероятно, в Египте, а умер около 930 года. Он написал много книг, некоторые из которых, в том числе «Книга об алгебре», «Книга о редкостях искусства арифметики» и «Книга о геометрии», дошли до нас. Возможно, Абу Камил был первым математиком, который не просто искал решения задачи, а интересовался поиском всех возможных решений. В своей книге «О редкостях искусства арифметики» он даже описывает задачу, к которой нашел 2678 решений! Однако с точки зрения истории золотого сечения главное – что книги Абу Камила стали основой для некоторых книг итальянского математика Леонардо Пизанского, известного под прозвищем Фибоначчи, с которым мы скоро познакомимся. Трактат Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике» содержит двадцать задач с решениями, где ученый вычисляет площади фигур, длины их сторон и радиусы описанных вокруг них окружностей. В некоторых этих вычислениях, но не везде, он применяет и золотое сечение. Несколько алгебраических задач из «Алгебры» Абу Камила, вероятно, тоже вдохновлены понятием золотого сечения.

Последний исламский математик, которого мне хочется здесь упомянуть, – Мухаммад Абу-л-Вафа (940–998). Абу-л-Вафа родился в Бузгане на территории современного Ирана и жил в правление династии Буидов в западном Иране и Ираке. Эта династия достигла расцвета в царствование Адуда аль-Давла, который был горячим поклонником и покровителем математики, естественных наук и искусств. Абу-л-Вафа был среди математиков, которых в 959 году пригласили в Багдад ко двору Адуда аль-Давла. В его первом солидном труде – книге «О том, что нужно знать писцам, дельцам и другим в науке арифметики», по словам самого ученого, «содержатся все арифметические знания, которые необходимы ученику, подчиненному или начальнику». Интересно, что хотя сам Абу-л-Вафа был специалистом в применении индийских цифр, весь текст его книги написан вообще без цифр, одними словами, а вычисления проводятся только в уме. К Х веку индийские цифры еще не нашли применения в деловых кругах. То, что Абу-л-Вафа интересуется золотым сечением, видно из другой его книги – «О том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений». В этой книге Абу-л-Вафа приводит изобретательные методы построения правильного пятиугольника и десятиугольника, вписывания правильных многоугольников в окружности и в другие многоугольники. Уникальную черту его работы составляет серия задач, которые он решает при помощи линейки (прямой, без делений) и циркуля, в котором угол между ножками зафиксирован (так называемый «ржавый циркуль»). Возможно, на этот жанр ученого вдохновило «Собрание» Паппа, однако не исключено, что такие решения просто отражают подход Абу-л-Вафы к практическим задачам: решения при помощи циркуля с фиксированным углом между ножками более точны.