Бот

В загальному вираз b2 – 4ac, з якого добувається корінь квадратний у чисельнику, може бути будь-яким — як додатним, так і від’ємним. У випадку b2 – 4ac ≥ 0 проблем не виникає — рівняння розв’язується і має два корені. Що ж виходить, коли b2 – 4ac 0, і під коренем квадратним опиняється від’ємне число? До п’ятого чи шостого класу нас учили, що таке рівняння не розв’язується. Коренів просто не існує. Це твердження обґрунтовувалось неможливістю видобування кореня квадратного з від’ємного числа. Насправді все зовсім не так просто.

В математиці немало задач, під час розв’язку яких доводиться добувати корені з від’ємних чисел. Для того, щоб подолати цю проблему, математики вигадали цікаву штуку, яку назвали уявна одиниця і позначили і. Уявна одиниця — це таке число, квадрат якого дорівнює мінус одиниці. Тобто, i2 = –1. Таким чином, розв’язати квадратне рівняння можна навіть при b2 – 4ac 0. Корені в такому випадку матимуть вигляд:

де і — уявна одиниця.

А тепер забудьте про квадратні рівняння і сконцентруйтесь на ідеї уявної одиниці. Введення поняття числа і призвело до появи комплексних чисел.

В загальному, комплексні числа — це розширення дійсних чисел, якими ми зазвичай користуємося при лічбі. Будь-яке комплексне число z записується у вигляді:

z = x + iy,

де x та y — звичайні (дійсні) числа, і — уявна одиниця.

Тривалий час комплексні числа сприймались як абстракція, вигадана математиками і придатна лиш для математичних головоломок. Нині комплексні числа дозволяють зручно і стисло сформулювати чимало математичних моделей, їх застосовують у математичній фізиці та природничих науках (електротехніці, гідродинаміці, квантовій механіці, теорії коливань тощо). Власне, якби не комплексні числа, вчені б досі не мали уявлення про фрактальну геометрію, а також про надскладну впорядкованість природи.

Комплексні числа можна представити геометрично (візуально). Візьмемо площину з прямокутною (Декартовою) системою координат. На осі абсцис відкладатимемо значення x, на осі ординат — y (див. рис. нижче). Будь-яке комплексне число (z0 = x0 + iy0 чи z1 = x1 + iy1) можна представити у вигляді точки на цій площині (відповідно, з координатами {x0, y0} та {x1, y1}). Ця площина дістала назву комплексної.

N. B. Зверніть увагу, дійсні числа (ті числа, якими ми користуємося в побуті) на комплексній площині відповідають виключно осі абсцис. Для них y = 0. Введення поняття комплексних чисел неймовірно розширило межі математичних обчислень. Це наче інша реальність, новий вимір. На комплексній площині ці числа — все, що лежить вище і нижче від осі абсцис. Іншими словами, з точки зору математики дійсні (звичайні) числа — це радше виняток. Переважна більшість значень виражається саме комплексними, а не дійсними числами.

Геометричне представлення комплексних чисел на комплексній площині

Ось тепер ми нарешті підібрались упритул до множини Мандельброта.

Математик Бенуа Мандельброт досліджував рекурсивні процеси виду zi+1 = zi2 + c, де с — це довільне комплексне число, а z0 = 0.

Візьмемо для прикладу c = 3 – 2i.

Тоді перші три члени послідовності дорівнюватимуть:

z1 = z02 + c = 0 + 3 – 2i = 3 – 2i

z2 = z12 + c = (3 – 2i)2 + 3 – 2i = = 9 – 12i + 4i2 + 3 – 2i = 8 – 14i

z3 = z22 + c = (8 – 14i)2 + 3 – 2i = = 64 – 224i + 196i2 + 3 – 2i = – 129 – 226i

і так далі…

Що ж там досліджувати, спитаєте ви? Та майже нічого. Кожне з нових отриманих zi також є комплексним числом і, відповідно, позначається точкою на комплексній площині. Математики ще задовго до Мандельброта помітили, що деякі zi прямують до нескінченності, а інші — збігаються, цебто прямують до якогось конкретного числа. Така дивна поведінка не підкорялася жодним теоріям, аналітично її не змогли пояснити. Відтак учених зацікавило, що являє собою сукупність точок послідовності zi+1 = zi2 + c, які не прямують до нескінченності. Яка з них складеться фігура? Коло? Еліпс? Можливо, хаотичний набір точок? Який-небудь складніший візерунок?

До появи електронно-обчислювальних машин побудувати цю фігуру було неможливо. Бенуа Мандельброт першим повернувся до цієї проблеми, озброєний потужною ЕОМ та графічною системою для виведення результатів. До послідовності z → z2 + c Мандельброта підштовхнули тривалі роздуми про разючу подібність при розгляді берегової лінії, гірського рельєфу, хмар та інших природних об’єктів в різних масштабах.