Блез Паскаль. Его жизнь, научная и философская деятельность

Чтобы получить треугольник Паскаля, напишем горизонтальный ряд, составленный из единицы, повторенной сколько угодно раз: 1, 1, 1, 1 и т. д., и такой же вертикальный ряд. Дальнейшие числа треугольника получаются так: любое число треугольника Паскаля равно сумме числа стоящего над ним, с числом, стоящим слева от него. Так, например, написав сначала

вставляем затем число 2 таким образом:

потому что 2=1+1. Продолжая подобные действия, нетрудно составить, например, следующий треугольник Паскаля:

Первая строка (и первый столбец) состоит из единицы, повторенной несколько раз; вторая строка (и столбец) – из натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д.; третья строка (и столбец) – из так называемых треугольных чисел 1, 3, 6, 10 и т. д.; в четвертой строке (и столбце) стоят пирамидальные числа 1, 4, 10 и т. д.

Чтобы понять смысл этих названий, предположим, что требуется узнать сразу, сколько ядер находится в куче, имеющей вид треугольника, например, такой:

Сначала положено 1 ядро, потом 2, 3, 4 и т. д. Словом, имеем ряд натуральных чисел. Легко убедиться, что искомая сумма равна тому числу в треугольнике Паскаля, которое стоит непосредственно под последним из слагаемых натуральных чисел. Так, в нашем примере под числом 4 стоит 10, и действительно 1+2+3+4=10. Число 10 обозначает число ядер в треугольной кучке, стороны которой содержат по 4 ядра. Числа 1, 3, 6, 10 называются “треугольными” числами.

Теперь представим себе пирамидальную кучу, составленную таким образом: на самом верху лежит одно ядро, под ним три, сложенные в треугольник,

затем шесть, сложенные в треугольник

и так далее. Чтобы сразу узнать, сколько ядер в такой куче, достаточно посмотреть, какое число написано под последним взятым нами треугольным числом. В данном примере искомым является число 10, стоящее под числом 6. Числа 1, 4, 10 и т. д., составляющие четвертый ряд (или столбец), могут быть названы “пирамидальными”, потому что обозначают число ядер в пирамидальных кучах.

Итак, первое применение треугольника Паскаля состоит в том, что он позволяет почти мгновенно вычислять довольно сложные суммы.

В теории вероятностей треугольник Паскаля также заменяет сложные алгебраические формулы.

При решении задач, относящихся к теории вероятностей, Паскалю пришлось искать суммы чисел, идущих на нашей фигуре от одной римской цифры до другой такой же цифры в косвенном направлении (по диагонали), например, 1+2+1, 1+3+3+1 и т. д. Исследование этих чисел навело Паскаля на решение частного случая задачи, известной под именем бинома Ньютона. Таким образом, Паскаль задолго до Ньютона открыл способ возвышать двучлен в целую положительную степень; Ньютон обобщил этот результат, распространив его на любые степени и дав ему алгебраическую форму.

Теория треугольника Паскаля еще ждет дальнейших исследований, могущих внести значительные упрощения в разные области математики.

ГЛАВА VII

Второе “обращение” Паскаля. – Его “завещание”. – Был ли Паскаль сумасшедшим! – Янсенисты. – Пор-Рояль. – Влияние Жаклины на брата

Еще в октябре 1654 года Паскаль вел деятельную переписку с Ферма по вопросам, касавшимся теории вероятностей; несколько недель спустя с Паскалем произошло событие, несомненно повлиявшее на него весьма сильно. Было бы, однако, ошибкою думать, что окончательная перемена в образе жизни Паскаля произошла внезапно, под влиянием одного этого события.

Первое “обращение” Паскаля, как мы видели, было вызвано несчастным падением его отца; ближайшим поводом ко второму “обращению” явилась смертельная опасность, которой подвергся он сам. Но выводить из этих двух случаев, что Паскаль оба раза подвергался временному умопомешательству, это значит злоупотреблять психиатрическими терминами. Не всякий экстаз и даже не всякая галлюцинация служат доказательством того полного душевного расстройства, выражающегося главным образом в ослаблении воли, которое заслуживает названия помешательства. В противном случае пришлось бы причислить к помешанным весьма и весьма многих. В XVIII веке, когда классификация душевных болезней находилась в самом первобытном состоянии, такое смешение понятий было еще простительно, но в настоящее время ни один разумный психиатр не решился бы объявить Паскаля помешанным, хотя каждый признал бы его состояние ненормальным.

Замечательно, что сестра Паскаля даже не упоминает о новом происшествии на мосту Нейльи, которое она не смогла бы обойти молчанием в том случае, если бы Паскаль действительно был подвержен постоянным галлюцинациям, связанным с этим событием. Эти галлюцинации, вероятно, овладели Паскалем лишь на короткий период времени.

Нисколько не сомневаясь в правдивости самого факта, засвидетельствованного в одной монастырской летописи, следует думать, что это происшествие лишь ускорило внутренний переворот, который рано или поздно наступил бы в Паскале иным путем.