Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике

Генрих Эдуард Гейне родился в Берлине, в Германии, 16 марта 1821 года и был восьмым из девяти детей. В 1838 году он поступил в Геттингенский университет и начал изучать математику, но в следующем году перешел в Берлинский университет, где 30 апреля 1842 года получил степень доктора. Два года спустя он стал преподавателем в университете в Бонне, а в 1856 году — в Галле. Там он читал различные лекции в разных областях вычисления и физики; его высоко ценили за ясность изложения. Гейне внес большой вклад в область логического обоснования вычисления. Он умер в Галле 21 октября 1881 года.

НА ПУТИ К БЕСКОНЕЧНОСТИ

В 1860-е годы Гейне доказал, что способ разложения периодического графика будет единственным, если он непрерывен, а также если в каждом его периоде конечное количество «прерываний». Решение Кантора подходит для обоих результатов и для случаев бесконечного количества прерываний в каждом периоде.

То есть если наблюдается непрерывность, разложение будет единственным, если в каждом периоде конечное количество прерываний — результат будет тем же. Продолжая эти рассуждения, Кантор создавал гипотезы, которые звучали примерно так: «Если в каждом периоде есть бесконечное количество прерываний, но их «немного», то разложение будет единственным». «Бесконечные, но их немного» — эта фраза может показаться противоречивой, но не для Кантора. Для него «немногое бесконечное» означало «счетное бесконечное», то есть прерывания бесконечны, но их мощность при этом должна быть меньше мощности вещественных чисел.

Впечатление, которое производит на нас писанина Кантора, просто ужасно. Читать ее — настоящая пытка.

Шарль Эрмит, французский математик, 1883 год

Итак, Кантор постулировал — и доказал это в своих «Основаниях общей теории многообразий» 1883 года, — что процесс получения производных Р', Р", Р⁽³⁾, Р⁽⁴⁾ ... в определенный момент аннулируется именно в тех случаях, когда оба множества Р и Р' конечны или счетны. Надо отметить, что Кантор уже высказывал такое предположение в 1872 году. Почему на доказательство ему потребовалось десять лет? На самом деле трудность была не столько технической, сколько психологической.

Сколько этапов потребуется преодолеть, чтобы процесс Р', Р", Р⁽³⁾, Р⁽⁴⁾ ... аннулировался? Это может произойти и на первом этапе, и на втором, и на третьем и так далее, но не все так просто.

Вернемся к последовательности 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;..., которая постепенно все больше приближается к числу π.

Обычно в таких случаях говорят, что последовательность «приближается к числу π бесконечно»; причем «бесконечно» должно пониматься потенциально, то есть числа 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;... стремятся к π, но никогда его не достигнут.

В ходе своих исследований Кантор нашел пример, в котором Р', Р", Р⁽³⁾, Р⁽⁴⁾ ... были разными множествами, но процесс получения их производных не аннулировался ни при каком конечном количестве переходов. Так он смог выявить множество P(∞). Символ ∞, введенный Джоном Валлисом в 1655 году, обычно использовался в исчислении для обозначения потенциальной бесконечности. Так же как числа 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;... все больше походят на число π, к множеству F“) все больше приближаются последовательные множества Р', Р", Р⁽³⁾, Р⁽⁴⁾ ... Однако в приведенном примере Кантор также обнаружил, что i^x°°⁾ состоит из чисел 0, 1 и 2, а следовательно, его производное аннулируется. Но каково же производное множества P(∞)? Если производное от Р⁽³⁾ — это Р⁽⁴⁾, а производное от Р⁽⁴⁾ - Р⁽⁵⁾, логично было бы предположить, что производное от P(∞) — это P(∞+1). Это означало бы, что процесс аннулируется после

∞ + 1 переходов. Что означает «∞ + 1»?

Кантор нашел случаи, в которых процесс аннулировался на этапе ∞ + 2, или ∞ + 3, или ∞ + ∞, но не мог объяснить эти символы. Точнее, признать их тем, чем они были на самом деле, ему мешал уже упомянутый психологический барьер.

НЕОБЫКНОВЕННЫЕ ОТКРОВЕНИЯ

«[...] по воле всемогущего Бога меня озарили самые удивительные, самые неожиданные идеи о теории ансамблей и теории чисел. Скажу больше, я нашел то, что бродило во мне в течение долгих лет».