Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике

Георг Кантор и Рихард Дедекинд познакомились случайно в 1872 году во время летних каникул. Несмотря на различия — Кантор был натурой страстной и импульсивной, а Дедекинд гораздо более спокойным и рассудительным,— они обнаружили много общего в своем видении математики. С этой встречи они почти десять лет вели очень интенсивную переписку, в ходе которой впервые обсудили идеи Кантора, впоследствии изложенные в его статьях. В письме от 5 января 1874 года, отправленном из Галле, Кантор спрашивал мнения Дедекинда по следующему вопросу: 

«Может ли некая поверхность (например, квадрат, включая углы) вступить в однозначное отношение с кривой (например, с отрезком прямой) таким образом, чтобы каждой точке плоскости соответствовала точка кривой, и наоборот?» 

Задача, сформулированная Кантором, была естественным продолжением идей, над которыми он работал в то время. В 1873 году он уже знал, что мощность множества вещественных чисел больше мощности натуральных чисел. Другими словами, он знал, что уровень бесконечности вещественных чисел больше, чем уровень натуральных, хотя в статье 1878 года не заявил об этом открыто.

В этой ситуации логично задаться вопросом: возможно ли множество с еще большей мощностью, чем мощность вещественных чисел? Именно об этом и думал Кантор, когда писал Дедекинду. Проследим, как вопрос о возможности множества с мощностью, большей, чем мощность вещественных чисел, приводит нас к вопросу в письме Кантора.

В предыдущей главе мы убедились, что каждой точке на числовой оси соответствует вещественное число, и наоборот: каждому вещественному числу соответствует точка на оси. Другими словами, между вещественными числами и точками на оси наблюдается взаимно однозначное соответствие (то есть два множества эквивалентны или равномощны). Когда мы говорим о мощности — это то же самое, что говорить о вещественных числах и точках на оси. Какое множество можно выдвинуть в качестве кандидата на большую мощность по сравнению со множеством точек на оси? Поскольку ось — одномерный объект, логично было бы предположить, что нам подошел бы объект с двумерной поверхностью.

Если мы думаем о множестве всех вещественных чисел, а им соответствует числовая ось, почему Кантор говорит об отрезке, то есть только о части прямой, ограниченной двумя точками? Дело в том, что можно доказать: все отрезки, вне зависимости от их длины, эквивалентны друг другу, у них одинаковая мощность и, в свою очередь, любой отрезок эквивалентен полной оси. Таким образом, при изучении мощности не имеет значения, о чем идет речь, — об отрезке или об оси.

Теперь вернемся к вопросу, сформулированному Кантором в письме от 5 января 1874 года: может ли одномерный объект (отрезок, взятый как бесконечная совокупность точек) иметь такую же мощность, что и двумерный объект (квадрат, также взятый как бесконечное множество точек), или, наоборот, мощность квадрата будет больше?

Решение задач, связанных с математической бесконечностью, является, пожалуй, одним из главных успехов нашей эпохи, которым мы можем гордиться.

Лорд Бертран Рассел, 1910 год.

В этом же письме Кантор утверждал, что, разумеется, кардинальное число точек квадрата должно превосходить кардинальное число точек отрезка. Дедекинд согласился, но Кантор также добавлял, что задача тем не менее «очень сложна».

И действительно, на пути к ее решению было много препятствий, и чтобы найти его, Кантору потребовалось три года. Он изложил его Дедекинду в письме от 20 июня 1877 года, и уже 22 июня Дедекинд отправил свое послание, в котором оспаривал аргументацию Кантора. Тот ответил двумя письмами от 25 и 29 июня. В последнем, очень характерном для Кантора, говорилось: 

«Прошу Вас извинить мое рвение, если я слишком часто злоупотребляю Вашей добротой и снисходительностью. То, что Вы сообщили, для меня настолько неожиданно и ново, что я не мог бы, так сказать, достичь некоего спокойствия духа, прежде чем получу, мой многоуважаемый друг, Ваше мнение по поводу верности [моего предположения]. Пока Вы не одобрите мои выводы, я могу лишь сказать je le vois, mais je ne le crois pas [«я это вижу, но этому не верю», франц.].