Бабочка и ураган

Однажды великий философ Иммануил Кант (1724–1804), известный в обоих полушариях, возвращался с дневной прогулки. Слуга следовал за ним на почтительном расстоянии, стараясь не потревожить мыслей своего господина. Кант всегда гулял в одном и том же месте в одно и то же время. Благодаря его пунктуальности жители Кёнигсберга даже сверяли часы по своему знаменитому соседу. Как-то раз, прежде чем пересечь сад и перешагнуть порог дома, автор «Критики чистого разума» задержался. Он остановился, чтобы посмотреть на папоротник, выросший после недавних дождей. По его зеленому стеблю неуклюже карабкалась прекрасная бабочка. Философ аккуратно тронул ее, а затем провел рукой по влажному листу папоротника и улыбнулся, наслаждаясь совершенством его формы. Кант что-то неслышно прошептал, посмотрел в небо и вошел в дом.

Несколько минут спустя он сел за стол у камина, обмакнул перо в чернильницу и начал писать.

Если бы Кант поднял голову…

В своей книге «Критика способности суждения» Иммануил Кант задался вопросом: является ли математика частью природы или же математику в натуральную философию привносят сами математики? Он писал о господствующих силах природы так:

«Можно смело сказать: для людей было бы нелепо даже только думать об этом или надеяться, что когда-нибудь появится новый Ньютон, который сумеет сделать понятным возникновение хотя бы травинки, исходя лишь из законов природы, не подчиненных никакой цели. Напротив, такую проницательность следует безусловно отрицать у людей»[1].

Портрет Иммануила Канта.

«С самых ранних времен, до которых простирается история человеческого разума, математика пошла верным путем науки».

Это амбициозное утверждение сегодня неактуально — если вы позволите нам такое сравнение, то уже пришло время этого второго Ньютона, который сделал понятным возникновение травинок. Мы говорим об английском математике Майкле Барнсли, специалисте по одному из интереснейших аспектов теории хаоса — фракталам. Фрактальная геометрия — неразлучная спутница теории хаоса, в чем вы еще не раз убедитесь, читая эту книгу.

Барнсли обнаружил, что при простой «игре в хаос», словно по волшебству, могут появляться листья папоротника и других растений. Игра в хаос заключается всего лишь в постепенном нанесении на лист бумаги последовательности точек, которая в пределе образует знакомую картину. Подведем итог: на основе случайного закона (Кант сказал бы: закона, не подчиняющегося намерению) при помощи компьютера мы способны породить лист растения. Для этого достаточно выбрать фиксированную точку (расположенную не в центре экрана) и начать подбрасывать монету.

Когда выпадет решка, отметим новую точку на расстоянии в 6 единиц на северо-запад от предыдущей. Когда выпадет орел, новую точку сдвинем на 25 % к центру относительно предыдущей. Очевидно, что это построение может повторяться произвольное число раз и изначально расположение точек будет казаться случайным.

Однако после нескольких тысяч бросков на экране непостижимым образом постепенно начнет проявляться лист папоротника. Хаос словно бы порождает порядок в виде фрактального множества — папоротника Барнсли.

Мы никогда не узнаем, что сказал бы великий кёнигсбергский философ, если бы смог охватить взглядом удивительное множество природных систем, строго детерминированных, но при этом обладающих хаотическим поведением со всеми вытекающими последствиями, то есть поведением случайным, или стохастическим (по-гречески stochastikos означает «умеющий угадывать»). Многие движения, кажущиеся беспорядочными, в действительности описываются строгими правилами, в которых нет места случайности. Таким образом, хаос и фракталы — это новый инструмент познания Вселенной.

«Спонтанное» появление папоротника Барнсли.

* * *