Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

После тройки число возможных магических квадратов возрастает невероятно быстро. Даже после редукции, учитывающей вращения и отражения, оказывается возможным построить 880 магических квадратов размером 4 × 4. В формате 5 × 5 число магических квадратов равно 275 305 224 — этот результат был получен только в 1973 году с использованием компьютера. И хотя число это кажется астрономически большим, на самом деле оно ничтожно по сравнению с числом всех возможных расстановок цифр от 1 до 25 в магическом квадрате размером 5 × 5. Полное количество возможных расположений можно вычислить, умножая 25 на 24, потом на 23 и т. д. до 1, что примерно составляет число, записываемое как 1,5 с 25 нулями, то есть 15 септилионов.

Число магических квадратов 6 × 6 неизвестно, хотя вероятно, что оно есть нечто близкое к 1 с 19 нулями. Это число настолько огромно, что превосходит даже полное число пшеничных зерен на шахматной доске в задаче, рассмотренной выше.

* * *

Надо сказать, что не только математики-любители увлекались магическими квадратами. В конце своей жизни ими заинтересовался и выдающийся швейцарский математик Леонард Эйлер[42]. (Он к тому времени практически полностью ослеп, из-за чего его исследования в области, существенным образом использующей пространственное расположение чисел, представляются особенно впечатляющими.) В частности, он изучал модифицированный вариант магического квадрата, в котором каждое число или символ появляется только один раз в каждой строке и каждом столбце. Он назвал такие квадраты «латинскими».

Латинские квадраты

В отличие от магических квадратов латинские квадраты имеют несколько практических применений. Их можно использовать для составления графика спортивных турниров, проводимых по круговой системе, когда каждая команда должна сыграть с каждой, а также в сельском хозяйстве в качестве удобного средства, позволяющего фермеру испытать, например, несколько различных удобрений на участке земли и узнать, какое из них дает наилучшие результаты. Если у фермера, скажем, пять продуктов, подлежащих проверке, и он разбивает землю в квадрат 5 × 5, то размещение каждого из продуктов по латинскому квадрату гарантирует, что всякое изменение в характере почвы окажет одинаковое влияние на каждое средство.

* * *

Маки Кадзи — представленный мною в начале главы японец, который занимается созданием головоломок, — открыл новую эру в играх с числовыми квадратами. Идея посетила его, когда он просматривал один американский журнал головоломок. Поскольку английский — не его родной язык, он пролистывал страницы малопонятных игр, использующих слова, пока не наткнулся на загадочно выглядевшую сетку из чисел. То была головоломка под названием «Поставь числа на место». Она представляла собой частично заполненный латинский квадрат 9 × 9, в котором использовались цифры от 1 до 9. Рассуждая логически, игрок должен был заполнить пустые места числами, помня, что каждое число может появиться в каждой строке и каждом столбце только один раз. Задача облегчалась дополнительным условием: квадрат был разбит на девять подквадратов 3 × 3, выделенных жирным шрифтом. Каждое из чисел от 1 до 9 могло появляться в подквадрате лишь единожды. Кадзи решил головоломку «Поставь числа на место» и очень воодушевился — именно головоломки подобного типа он и хотел размещать в своем новом журнале.

Головоломка «Поставь число на место», впервые появившаяся в 1979 году, была творением Говарда Гарнса, в прошлом архитектора из Индии, на пенсии увлекшегося головоломками. Хотя Кадзи понравилось решать головоломку Гарнса, он решил переделать ее таким образом, чтобы заданные числа были распределены в симметричную структуру по сетке, подобно тому, как это имеет место в кроссвордах. Он назвал свой вариант судоку, что по-японски означает «число должно появляться только один раз».

Судоку

Кадзи поместил судоку в первых же номерах своего журнала головоломок, который начал выходить в 1980 году, но, по его словам, никто не обратил тогда на них никакого внимания. Лишь после того, как судоку пересекли границу Японии, они стали распространяться подобно лесному пожару.

Точно так же, как говорящие по-японски, но не знавшие английского люди могли понять, что требуется в головоломке «Поставь числа на место», говорившие по-английски, но не знавшие японского могли играть в судоку.