12 тверских математиков

Ожесточённая дискуссия, возникшая вокруг вопроса о необходимости катаракта, весьма способствовала выяснению многих пунктов теории регулирования, и появившиеся через несколько лет работы исправили эту ошибку И.А. Вышнеградского и показали, как нужно учитывать кулоновское трение. Однако при учёте кулоновского трения задача становится нелинейной и настолько сложной, что вплоть до самого последнего времени оставалась не решённой в общем случае.

Само собой разумеется, что это ошибочное частное утверждение И.А. Вышнеградского не сказывается на фундаментальном значении всей его работы. Если кулоновское трение достаточно мало, а это часто на практике имеет место, все выводы И.А. Вышнеградского остаются в полной силе. Образцовый анализ этой «линеаризованной» задачи позволил И.А. Вышнеградскому сделать чёткие технические выводы и установить знаменитые «неравенства Вышнеградского», которые с тех пор кладутся в основу расчёта регуляторов. Эти неравенства были им наглядно представлены в виде так называемой «диаграммы Вышнеградского», вошедшей во многие, в том числе современные, учебники. По прямоугольным осям этой диаграммы отложены безразмерные величины, просто связанные с практическими, конструктивными параметрами машины и регулятора; диаграмма указывает области устойчивой и неустойчивой работы системы «машина—регулятор»; более того, она показывает в устойчивой области отдельно ту её часть, которая соответствует работе регулирующего устройства без всяких нежелательных колебаний.

Выводы И.А. Вышнеградского, сформулированные также в виде нескольких тезисов, были обращены непосредственно к инженерам и изобретателям, занимающимся проектированием и конструированием регуляторов, и содержали фундаментальные, практически крайне важные сведения о необходимых соотношениях между данными регулятора и данными машины, объяснившие, в частности, неудачу многих конструкций.

Эта работа И.А. Вышнеградского, появившаяся почти одновременно на нескольких языках, сразу сделалась предметом самого пристального внимания в Германии, Франции и Америке. Общепризнано её фундаментальное значение для современной теории регулирования, как и её влияние на почти все последующие работы по теории регулирования. Так, например, известный инженер Хорт, автор многих работ и книг по прикладной механике и теории колебаний и автор одного из немногих имеющихся в литературе обзоров по истории теории регулирования, прямо пишет, что эту работу «следует рассматривать как лежащую в основе современной теории регулирования».

Дальнейшее развитие машиностроения привело к усложнению схем автоматического регулирования, причём основное развитие теории регулирования шло по линии исследования «линеаризованных» задач, т.е. по линии обобщения результатов, полученных И.А. Вышнеградским. По просьбе знаменитого словацкого специалиста по паровым турбинам Стодола, работы которого по теории регулирования носят прямые следы влияния Вышнеградского, немецкий математик Гурвиц в 1895 году рассмотрел общий случай линеаризованных задач теории регулирования и получил «неравенства Гурвица», являющиеся обобщением «неравенств Вышнеградского». Эти «неравенства Гурвица» или, как их иногда называют, «неравенства Рауса—Гурвица», и сейчас составляют основу большинства расчётов теории регулирования.

После смерти И.А. Вышнеградского было обнаружено, что существует работа знаменитого английского физика Максвелла, опубликованная ещё в 1868 г., в которой Максвелл занимался той же задачей, которую поставил и решил И.А. Вышнеградский. В своей работе Максвелл пришёл к тем же математическим условиям правильной работы регулятора, что и Вышнеградский, но у Максвелла отсутствуют те последовательные и отчётливые технические выводы, которые составляют замечательную особенность работы Вышнеградского.

Вторая работа И.А. Вышнеградского «О регуляторах непрямого действия» (1878), отличающаяся, как и первая, последовательной динамической точкой зрения и интересная тем, что здесь делается попытка рассматривать нелинейные задачи теории регулирования, имеет меньшее значение. Но и эта работа, посвящённая таким регуляторам непрямого действия, конструкции которых быстро вышли из употребления, несомненно, оказала определённое влияние на последующие работы по регулированию.