100 великих парадоксов

• сам Рассел разработал теорию типов, где простой элемент имел порядок 0, множество простых элементов – порядок 1, множество множеств простых элементов – порядок 2 и т. д. В этой теории исключено существование множеств, включающих себя в качестве элемента.

• в аксиоматике Неймана – Бернрайса – Гёделя вообще провернули “финт ушами”, а именно назвали множество всех множеств “классом”, попутно объявив, что оно само не является множеством и не является элементом какого-либо класса.

Если невозможно отнести парикмахера ни к одному из классов “бреются сами” и “не бреются сами”, значит, его нужно включить в третий класс – “не бреются”…

И теперь парикмахеру суждено умереть бородатым» (Джастмэн).

Решение радикальное, но только если задача упрощена и нет запрета на бородатость. А если всем деревенским мужикам требуется быть бритыми (то есть класс «не бреются» запрещён), то условный парикмахер не должен иметь бороду.

На мой дилетантский взгляд, можно придумать ещё два варианта.

Когда логическую задачу переводят на обыденный язык, не в абстрактной, а в конкретной форме, скажем, «парадокса брадобрея», возникают дополнительные аспекты, например, проблема выбора. У неё есть решение.

Из двух запретов («никому нельзя иметь бороду» и «брить только тех, кто не умеет бриться») один можно признать менее строгим, чем другой. И тогда остаётся из двух зол выбрать наименьшее. Тут и пригодится, например, способ Джастмэна.

Сам по себе парадокс Рассела как логическая задача доказывает существование неопределённости как третьего варианта дилеммы нормальных и ненормальных множеств. Понятие неопределённости чрезвычайно важно использовать в поисках истины.

Стремление непременно дать чёткое однозначное решение сложной и не вполне понятной проблемы резко ограничивает творческую мысль. Так произошло, на мой взгляд, с гипотезой Большого взрыва, теорией относительности, глобальной тектоникой плит и некоторыми другими идеями, превращёнными в догмы.

Два конверта

Предположим, Вы, читатель, и ещё один человек получили конверт с деньгами каждый. Известно, что в одном из них сумма денег вдвое больше, чем в другой. Есть возможность поменяться конвертами. Надо ли это сделать?

Будем рассуждать. Вы имеете в конверте Х денег. В другом конверте находится с одинаковой вероятностью или 2Х, или Х/2. Складываем эти две суммы и получаем среднее: (2X+X/2) /2 = 5X/4. Выходит, обмен Вам выгоден!

Если Ваш оппонент рассуждает так же, то он придёт к выводу, что обмен выгоден именно для него.

Замечательная ситуация, когда от перемены мест слагаемых сумма возрастает! Хотя так быть не может при любом раскладе. Значит, в наших рассуждениях что-то не так.

Как сказано в Интернете: «Этот парадокс был давно известен математикам, однако в сегодняшнем виде он был сформулирован лишь в 1980-х».

Трудно сказать, почему его так поздно сформулировали в данном виде. Да и сам парадокс, по-моему, похож на шутку.

Парадокс с конвертами больше похож на шутку

Нет никаких оснований складывать воображаемые 2Х и Х/2. В реальности у каждого есть лишь один конверт, в котором может быть только одно из двух. И в том и в другом случае вероятность того, что попадётся один из этих вариантов, равна 1/2. Так что меняться нет никаких математических и логических оснований.

Мораль этого парадокса: не надо мудрствовать лукаво, когда есть простой и надёжный метод.

Парадокс Гемпеля

Немецкий математик Карл Густав Гемпель в середине прошлого века решил показать недостаток индуктивной логики на «парадоксе воронов».

Принцип индукции («наведения», в переводе с латыни) предполагает вывод на основе перехода от частного к общему, от факта к обобщению. Это можно выразить так: наблюдение явления Х, которое соответствует гипотезе Г, увеличивает вероятность того, что данная гипотеза истинна.

Гемпель рассуждал так. Предположим, есть утверждение: «Все вόроны чёрные». Из этого, согласно формальной логике, следует другое утверждение: «Все нечёрные предметы не являются воронами».

То, что все вороны чёрные, можно доказывать, наблюдая этих птиц и тем самым подтверждая данную мысль. Столь же разумен, если опираться на формальную логику, другой способ: наблюдать предметы, которые не черны, и тогда каждый из них (зелёное яблоко, красная вишня, белый медведь и т. д.) будет подтверждать то, что все вороны чёрные.

Чем больше обнаружится нечёрных объектов, тем сильней будет укрепляться наша уверенность в том, что вороны не относятся к таким объектам. Значит, увеличится вероятность того, что все вороны черны. Но увеличение вероятности будет ничтожно малым, близким к нулю, ибо нечёрных объектов великое множество, и всех их перебрать нет никакой возможности.

Человек, находясь в здравом уме, примет для доказательства черноты воронов только первый способ. Видя зелёное яблоко, он не подумает о том, что этот факт хоть как-то может подтвердить черноту всех ворон.