10 ЗАПОВЕДЕЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ИДЕИ XX ВЕКА

Проблему удобнее всего описать, начав с теоремы Пифагора, которую большинство читателей должны помнить из школьного курса геометрии. Она названа в честь древнегреческого философа, сформулировавшего ее в VI веке до нашей эры, хотя, похоже, была известна еще 6 000 лет назад в древнем Вавилоне. В соответствии с ней, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы (а2 + Ь2 = с). Поразительные открытия XX века опровергли множество ранее существовавших теорий в самых разных науках (физика, астрономия, геология и т. д.), но теорема Пифагора может быть отнесена к вечным, незыблемым истинам, и каждый может проверить ее и вновь убедиться, что при указанных условиях а2 + Ь2 = с2. Тройки чисел, удовлетворяющих этому условию и выражающих эту геометрическую идею, в математике принято называть просто пифагоровыми числами. Читатель может запомнить простейшую комбинацию – если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то длина его гипотенузы равна 5 (поскольку З2 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52).

Мы знаем, что в математике и физике существуют и другие, более сложные виды геометрий, но и для них справедливы численные соотношения теоремы Пифагора. В теории чисел не имеют значения ни скорость движения космического аппарата, ни квантовая неопределенность в поведении электронов человеческого мозга, занятого решением этой задачи, так что независимо от всех физических обстоятельств и соображений соотношение а + b2 = с остается справедливым для некоторых комбинаций положительных целых чисел (такие числа называют натуральными).

По-видимому, размышляя о незыблемости этой великой теоремы, Ферма случайно задал себе простой и даже напрашивающийся вопрос: если математическое соотношение справедливо для квадратов некоторых натуральных чисел, то должно ли оно выполняться для кубов и/или более высоких степеней каких-либо чисел? Существует ли, например, комбинация вида а9 + b9 = с9? Другими словами, справедлива ли теорема Пифагора вообще, в виде аn+ bn= сn для некоторых комбинациё чисел при п › 2?

Нам остается лишь поверить, что юрист Ферма сразу вынес свой вердикт и нашел безапелляционный ответ «Jamaisl». Никогда! Никоим образом! Ни одно положительное целое число (от 3 до о о) не может быть показателем степени, образующим пифагоровы числа. Единственным доказательством этого утверждения остается пометка самого Ферма на полях книги: «Я нашел поистине чудесное доказательство…», но почти никто из математиков не верит в то, что Ферма действительно мог его получить. В течение нескольких десятков лет после упомянутой публикации нескольким выдающимся ученым удалось доказать теорему Ферму для некоторых групп натуральных чисел (иногда эти группы были весьма внушительны по объему), но общее доказательство, справедливое сразу для всех положительных целых чисел, оставалось недоступным, так что число самых талантливых математиков, вовлекаемых в странное и необычное соревнование, постоянно увеличивается.

Как и полагается легенде, теорема обрела собственную историю. Сам Ферма доказал справедливость теоремы только для п = 4. Знаменитый математик, теолог и астроном Леонард Эйлер в начале XVIII века доказал теорему для п = 3, а уже к концу века удалось «покорить» числа п = 5 и п =7. В начале XIX века молодая француженка Софи Жермен смогла доказать справедливость теоремы для всех натуральных чисел, меньших 100 (в соответствии с обычаями своего времени она пользовалась при переписке мужским псевдонимом). Драматическим обстоятельствам ее жизни и выдающегося математического таланта была посвящена еще одна связанная с теоремой Ферма «математическая» постановка на Бродвее, названная «Доказательство», которая даже удостоилась весьма почетной премии Дэвида Осборна.

Самые блестящие математики занимались теоремой Ферма в течение трех веков, но можно с уверенностью заявить, что никому из них не удалось обнаружить то гипотетическое доказательство, которое, возможно, мгновенно угадал Ферма, когда записал на полях книги свою фразу о «…поистине чудесном доказательстве».